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记忆化搜索

思想

是实现 DP 的一种手段。

优点：

1. 不关心递推顺序；
2. 对于两维及以上的 DP，方便处理初始状态和无效状态。

缺点：

无法使用滚动数组。

注意事项：

1. 要什么状态搜什么状态；
2. 所有的状态转移都要采取直接搜索的数据很傻。
3. 越界的状态不能赋值。

实现步骤：

1. 先判断是否越界，如果越界则返回对结果不会造成影响的结果，比如求最大值就返回极小值，求方案数就返回 \(0\)；
2. 判断是否已经搜索；
3. 判断障碍物；
4. 判断是否可以结束搜索（是否到达初始状态）；
5. 处理普通状态转移。

例题

P1057 [NOIP2008 普及组] 传球游戏

思路

设 dfs(step, p) 表示在 \(step\) 步传到了 \(p\) 的方案数。

当 dfs(0, 0) 时返回 \(1\)；

否则当 step 不等于 \(0\) 的时候返回 dfs(u - 1, (x + 1) % n) + dfs(u - 1, ((x - 1) + n) % n)。

特别注意假设将 dfs(a, b) 的结果记录在 \(f_{i, j}\) 中，那么不能用 \(f_{i, j}\) 来判断是否搜索过，而是记录 \(vis_{a, b}\)，表示是否遍历过，因为 \(f_{i, j} = 0\) 也有可能表示它没有方案数而不是没有访问过。如果直接判断 \(f_{i, j}\) 是否不等于 \(0\) 会导致 TLE。（或者 memset 成一个别的数字然后特判）。

代码

/*******************************
| Author:  SunnyYuan
| Problem: P1057 [NOIP2008 普及组] 传球游戏
| OJ:      Luogu
| URL:     https://www.luogu.com.cn/problem/P1057
| When:    2023-10-27 20:46:49
| 
| Memory:  125 MB
| Time:    1000 ms
*******************************/

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 40;

int f[N][N];
bool vis[N][N];
int n, m;

int dfs(int u, int x) {
    if (!u) return f[u][x] = (x == 0);
    if (vis[u][x]) return f[u][x];
    vis[u][x] = true;
    return f[u][x] = dfs(u - 1, (x + 1) % n) + dfs(u - 1, ((x - 1) + n) % n);
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n >> m;
    cout << dfs(m, 0) << '\n';
    return 0;
}