并查集和带权并查集原理

并查集是算法竞赛中常用的一种数据结构。

它可以高效地处理集合之间的操作与询问。

其主要功能是查询两个元素是否在同一个集合以及将两个集合合并。

第一部分 并查集的基本操作#

算法思想#

  1. 我们将所有元素建成很多棵树（森林），每一棵树就是一个集合。

  2. 因为并查集是一个树结构，那么每个节点都有一个指针指向父节点。

image

  1. 最开始时，每个元素就是一个独立的集合，每个元素各为一棵树且自己就是根及自己指向自己。

image

  1. 当我们要查询两个元素是否在同一个集合时，可以判断它们是否在同一棵树上，即只要判断它们所在树的根相同与否就可以了。
    比如下图 2,3 有相同的根 1，它们便在一个集合，但是 2,9 分别拥有根 1,7，不在同一个集合。

image

  1. 当我们要合并两个集合时，只要两棵树合并即可，即只要把两棵树的根节点连接起来就可以了。

image

算法优化（路径压缩）#

我们发现，如果建出来的树长这样：

image

多次查找非常费时间，因为每次都可能要从最下面跑到最上面。

因为它们都是一个集合的，不在乎它在集合中的顺序或位置，所以我们可以把树变成这样：

image

即每次查询一个元素在哪一个集合的时候顺便把它接在根节点上。

下面我们通过例题讲讲如何实现该数据结构。

例题#

例题1：P3367 【模板】并查集#

题目描述

image

思路

模板题，将上面讲述的思路应用到代码中即可。

代码
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 10010;

int n, m;
int fa[N];

int find(int x) {
    if (x == fa[x]) return x;
    return fa[x] = find(fa[x]);	// 将根节点直接作为 x 点的父亲节点
}

void merge(int x, int y) {
    int fx = find(x), fy = find(y);
    if (fx == fy) return;
    fa[fx] = fy;				// 将两个根节点合并
}

void init() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;// 初始化
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    cin >> n >> m;
    init();
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int x, y, z;
        cin >> x >> y >> z;
        if (x == 1) merge(y, z);
        else {
            if (find(y) == find(z)) cout << "Y\n";
            else cout << "N\n";
        }
    }
    return 0;
}

例题2：HDU 1213 How many tables#

题目描述

image

思路

将认识的人合并为一个集合，最后查找有多少个集合即可。

查询集合数量有两种方法：

方法1：等所有操作进行完成以后，我们可以查询有多少棵树，也就是查找有多少个根；
方法2：我们定义 cnt 初始值为 n，当合并两个不同的集合时，cnt 就可以 −1，代表两个集合合并，集合数量少了一个。

代码
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int fa[N];

void init() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;
}

int find(int u) {
    if (u == fa[u]) return u;
    return fa[u] = find(fa[u]);
}

void merge(int a, int b) {
    int fx = find(a), fy = find(b);
    if (fx != fy) fa[fx] = fy;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        cin >> n >> m;
        int cnt = n;
        init();
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            int x, y;
            cin >> x >> y;
            if (find(x) != find(y)) cnt--;	// 方法2统计结果
            merge(x, y);
        }
        cout << cnt << '\n';
    }

    return 0;
}

例题3：P3958 [NOIP2017 提高组] 奶酪#

题目描述

image

思路

如果两个圆的中心相距不超过 2R，R 为半径，那么就将两个洞合并为一个集合；

如果一个圆的中心与上下表面相距不超过 R，那么就将洞与上下表面合并；

最后看看上下表面受否在同一个集合，如果在同一个集合，那么一定可以从下表面走到上表面。

代码
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n;
double h, r;

struct pos {
    double x, y, z;
} p[N];

int fa[N];

int find(int x) {
    if (x == fa[x]) return x;
    return fa[x] = find(fa[x]);
}

void merge(int x, int y) {
    int fx = find(x), fy = find(y);
    if (fx == fy) return;
    fa[fx] = fy;
}

double dis(int v1, int v2) {
    double x = p[v1].x, y = p[v1].y, z = p[v1].z;
    double a = p[v2].x, b = p[v2].y, c = p[v2].z;
    return sqrt((x - a) * (x - a) + (y - b) * (y - b) + (z - c) * (z - c));
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        cin >> n >> h >> r;
        for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> p[i].x >> p[i].y >> p[i].z;
        for (int i = 0; i <= n + 1; i++) fa[i] = i;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j < i; j++) {
                if (dis(i, j) <= 2 * r) {
                    merge(i, j);
                }
            }
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (p[i].z <= r) merge(0, i);
            if (p[i].z >= h - r) merge(n + 1, i);
        }
        if (find(0) == find(n + 1)) cout << "Yes\n";
        else cout << "No\n";
    }
    return 0;
}

例题4：P1111 修复公路#

题目描述

image

思路

我们将所有公路按照修复完成时间从小到大排序，

然后一个一个合并过去，表示公路修好后将两个村庄可以通车，成为一个集合，

如果什么时候合并到只有一个集合时，那个时间点就是答案。

代码
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 100010;

struct road {
    int x, y, t;
} r[N];

int n, m;
int fa[N];

int find(int x) {
    if (x == fa[x]) return x;
    return fa[x] = find(fa[x]);
}

int merge(int x, int y) {
    int fx = find(x), fy = find(y);
    if (fx == fy) return 0;
    fa[fx] = fy;
    return 1;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;
    for (int i = 1; i <= m; i++) cin >> r[i].x >> r[i].y >> r[i].t;
    sort(r + 1, r + m + 1, [](const road a, const road b) { return a.t < b.t; });			// 按照修复完成时间从小到大排序

    int cnt = n;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int x = merge(r[i].x, r[i].y);
        cnt -= x;
        if (cnt == 1) {		// 只有一个集合
            cout << r[i].t << '\n';
            return 0;
        }
    }
    cout << -1 << '\n';
    return 0;
}

第二部分 带权并查集#

算法思路#

即为树上的每一条边赋上一个权值，比如边的长度，维护该节点与父节点的关系。

相应的，当我们进行路径压缩的优化时，我们发现所有的节点都接到根上去了，那么这时每一条边也自然而然地变成了维护该节点与根节点的关系。

比如权值是是长度时，我们要根据路径压缩的结果对路径权值进行更新：

image

路径压缩时更新权值#

还是路径长度的例子（如上图），

当我们的父节点 f 已经被成功合并到根节点时，

我们自然而然地想到如何更新子节点 x 的距离信息，

看下面的图可以帮助理解

有 d[x]=d[x原]+d[f]，

d[x原] 表示 x 节点与原来的父节点的距离，

x 现在的的父节点变成了根，所以有：

image

合并时更新权值#

合并两个集合表示两个集合中的任意两个点的关系我们都可以知道。

假如给定 x 点和 y 点的距离为 v。

那我们其实已经可以知道 x 所在子树和 y 所在子树的任意两个点之间的距离（因为它们都是树结构）。

然后我们要将 x 所在集合和 y 所在集合合并，就可以实现调查任意两点的关系（距离）

如何处理呢？

我们把 x 树接到 y 上，

image

还是直接将 x 所在子树的根接到 y 所在的子树的根即可。

我们现在开始处理 d 数组。

我们发现只要更改一条边，就是图中标红的边（d[rx]）就够了：

image

因为 d[rx] 被更改了，

其他边都可以随着调用上面讲的 find 函数进行更新。

怎么更新 d[rx] 呢，

我们可以利用高中数学知识（向量）去理解，

容易发现 d[rx]=−d[x]+v+d[y]。

image

这里举的是路径长度的问题，在遇到各种题目时中可以灵活运用，比如将 + 改成 ×−xor 等。

例题#

例题5：POJ1703 Find them, Catch them#

题目描述

题目翻译出来有很多种，有说吃糖的，有说警察抓小偷的。。。

image

思路

一样的道理，如果一个节点 x 与父节点的糖的类型相同，那么关系 d[x]=0，如果不同 d[x]=1。

显然在 find 函数中 d[x] 可以这么更新： d[x]=(d[x]+d[f])mod2。

对于第一种操作 D a b ，我们就可以知道 a 点和 b 点的关系为 1。

对于第二种操作 A a b，

首先，如果 a 和 b 在不同的集合，我们不能知道它们之间的关系，

否则，a 和 b 在相同的集合，我们只要知道 a 点和 b 点与根节点的关系是否相同即可，即 d[a]−d[b] 如果等于 0，那么 a 和 b 类型相同，否则不同。

代码
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int d[N];
int fa[N];

void init() {
    for (int i = 0; i <= n; i++) fa[i] = i, d[i] = 0;
}

int find(int x) {
    if (x == fa[x]) return x;
    int f = fa[x];
    fa[x] = find(fa[x]);
    d[x] += d[f];
    return fa[x];
}

void merge(int x, int y, int v) {
    int fx = find(x), fy = find(y);
    if (fx == fy) return;
    fa[fx] = fy;
    d[fx] = -d[x] + v + d[y];
}

int mod(int x, const int m) {
    return (x % m + m) % m;
}

void solve() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    init();
    char opt[2];
    int a, b;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        scanf("%s%d%d", opt, &a, &b);
        if (*opt == 'A') {
            int fa = find(a), fb = find(b);
            if (fa != fb) printf("Not sure yet.\n");
            else if (mod(d[a] - d[b], 2) == 0) printf("In the same gang.\n");
            else printf("In different gangs.\n");
        }
        else {
            merge(a, b, 1);
        }
    }
}

int main() {
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T--) solve();
    return 0;
}

例题6：HDU3038 How Many Answers Are Wrong#

题目描述

image

思路

对于一个区间 [l,r] 的和为 s 我们可以这样理解：l−1 和 r 的差距为 s。

我们能想到这一点就非常简单了，把刚刚的 a,b 两点的路径长度改成 l−1 和 r 相差 s 即可。

显然在 find 函数中 d[x] 可以这么更新： d[x]=d[x]+d[f]。

直接套用模板。

代码
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 200010;

int n, m;
int fa[N];
int d[N];
int ans;

void init() {
	ans = 0;
	for (int i = 0; i <= n; i++) fa[i] = i, d[i] = 0; 	// 别忘了初始化
}

int find(int u) {
	if (u == fa[u]) return u;
	int f = fa[u];						// 保存当前父节点 f，一会要通过 d[f] 更新 d[u]
	fa[u] = find(fa[u]);				// 路径压缩
	d[u] += d[f];						// 通过 d[f] 更新 d[u]
	return fa[u];
}

void merge(int x, int y, int v) {
	int fx = find(x), fy = find(y);
	if (fx == fy) {						// 在同一个集合，查真伪
		if (d[y] - d[x] != v) {
			ans++;
		}
	}
	else {								// 不在同一个集合，合并以知晓关系
		fa[fy] = fx;
		d[fy] = -d[y] + v + d[x];
	}
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);

	while (cin >> n >> m) {
		init();
		for (int i = 1; i <= m; i++) {
			int l, r, s;
			cin >> l >> r >> s;
			merge(l - 1, r, s);		// 注意 l 要 -1
		}
		cout << ans << '\n';
	}
	return 0;
}

例题7：P1525 [NOIP2010 提高组] 关押罪犯#

题目描述

image

思路

我们将所有的关系看成边，所有的犯人看成点，将边按照怒气值从大到小排序。

利用贪心，我们从前往后枚举，那么越靠前的怒气值越大，我们越不希望将其保留下来，我们更希望将他们放进两个监狱。

于是我们套路化地将那两个犯人连上一条权值为 1 的边，表示他们最好呆在两个监狱。

显然在 find 函数中 d[x] 可以这么更新： d[x]=(d[x]+d[f])mod2。

即“敌人的敌人是朋友”。

当什么时候发生矛盾时（比如两个积怨很深的人不得不在一起时），那么那个边的怒气值就是答案。

代码
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 20010, M = 100010;

struct edge {
    int u, v, w;
} e[M];

bool cmp(const edge a, const edge b) {
    return a.w > b.w;
}

int n, m;

int fa[N];
int d[N];

int mod(int x, const int m) {
    return (x % m + m) % m;
}

int find(int x) {
    if (x == fa[x]) return x;
    int f = fa[x];
    fa[x] = find(fa[x]);
    d[x] = mod(d[x] + d[f], 2);
    return fa[x];
}

bool merge(int x, int y, int v) {
    int fx = find(x), fy = find(y);
    if (fx == fy) {
        if (mod(d[x] - d[y], 2) != v) {
            return false;
        }
    }
    else {
        fa[fx] = fy;
        d[fx] = mod(-d[x] + v + d[y], 2);
    }
    return true;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;
    for (int i = 1; i <= m; i++) cin >> e[i].u >> e[i].v >> e[i].w;
    sort(e + 1, e + m + 1, cmp);

    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        if (!merge(e[i].u, e[i].v, 1)) {
            cout << e[i].w << '\n';
            return 0;
        }
    }
    cout << 0 << '\n';
    return 0;
}

例题8：P1196 [NOI2002] 银河英雄传说#

题目描述

image

思路

这次权值维护方法的不太一样。

我们将一列的战舰当作一个集合，

通过并查集维护集合和每一个点 u 到根节点的距离 dis[u]，

调查同一个集合的 u,v 相差多少个战舰可以通过 |dis[u]−dis[v]|−1 算出；

合并 x 到 y 时，注意修改 dis[x] 为 y 树原来的大小 sz[y]，然后 y 树的大小 sz[y] 要加上 sz[x]。

代码
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 30010;

int fa[N];
int sz[N];
int d[N];

void init() {
    for (int i = 1; i < N; i++) fa[i] = i, sz[i] = 1, d[i] = 0;
}

int find(int x) {
    if (x == fa[x]) return x;
    int f = fa[x];
    fa[x] = find(fa[x]);
    d[x] += d[f];
    return fa[x];
}

void merge(int x, int y) {
    int fx = find(x), fy = find(y);
    if (fx == fy) return;
    fa[fx] = fy;
    d[fx] = sz[fy];
    sz[fy] += sz[fx];
}

int query(int x, int y) {
    int fx = find(x), fy = find(y);
    if (fx != fy) return -1;
    return max(0, abs(d[x] - d[y]) - 1);
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    init();
    int T;
    cin >> T;
    char opt;
    int x, y;
    while (T--) {
        cin >> opt >> x >> y;
        if (opt == 'M') merge(x, y);
        else cout << query(x, y) << '\n';
    }

    return 0;
}
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