质数和约数

试除法

思想：

要检验一个数字 \(n\) 是否为质数，将 \(n\) 除以 \(1\sim \sqrt n\)，如果有一个数字刚好整除 \(n\)，那么 \(n\) 为合数，否则 \(n\) 为奇数。

代码：

bool prime(int x) {
    if (x < 2) return false;
	for (int i = 2; i <= x / i; i++) {
		if (x % i == 0) {
			return false;
		}
	}
	return true;
}

埃氏筛

思想：

埃氏筛直接利用质数的定义。

我们易知一个数 \(x\) 的 \(n\) 倍（\(n \ne 1\)）一定是一个合数，

那么我们遇到一个质数时 \(x\)，我们可以把它的倍数 \(xn(n\ne 1)\) 全部标记为不是质数。

例：

遇到质数 \(2\)（绿色）：

遇到质数 \(3\)（红色）：

遇到质数 \(5\)（橙色）：

遇到质数 \(7\)（蓝色）：

等等。

我们还有一些优化：

1. 我们遇到质数 \(x\)，可以直接从 \(x^2\) 开始标记，因为前面的 \(x \cdot i\) 已经被更小的质数筛掉了，比如 \(20\) 通过 \(5 \times 4\) 筛掉，但早已经通过 \(2 \times 10\) 筛掉了。

2. 我们可以只枚举 \(1 \sim \sqrt n\) 的质数就可以了，道理与试除法相同。

代码：

int n;
int prime[N], cnt;
bool is_not_prime[N];

void get_prime() {
    is_not_prime[0] = is_not_prime[1] = true;
    for (int i = 2; i <= n / i; i++) {
        if (!is_not_prime[i]) {
            for (int j = i * i; j <= n; j += i) {
                is_not_prime[j] = true;
            }
        }
    }
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!is_not_prime[i]) {
            prime[++cnt] = i;
        }
    }
}

欧拉筛

思想：

欧拉筛也叫线性筛，

它也是通过一个质数乘以一个不为 \(1\) 的数去掉合数的。

只是它规定每一个数字都是被它最小的质因子筛除。

比如 \(6\) 有质因子 \(2, 3\)，但是我们只会通过 \(2\) 去筛掉 \(6\)，而不是 \(3\)。

所以欧拉筛的思路就是：

1. 遇到一个数字 \(x\)，如果这个数字是质数，那么放入质数队列；
2. 从小到大枚举质数队列中质数作为将要筛掉的数的最小质因数 \(p\)，不断地用 \(p\) 乘以刚刚枚举的 \(x\) 得到数字 \(s\)，将 \(s\) 标记为不是质数，直到不能保证 \(s\) 的最小质因数为 \(p\) 时停止；

现在我们想一想什么时候停止，也就是什么时候不能保证 \(s\) 的最小质因数为 \(p\)？

实际上，如果刚好 \(x \mod p\) 等于 \(0\) 时可以停止（注意此时 \(p\) 是从前往后枚举）。

因为这样，\(p\) 一定是 \(x\) 的最小质因数，那么任何大于 \(p\) 的数 \(k\)，乘以 \(x\) 得到的 \(x \times k = b\) 的最小质因数也应是 \(p\)，所以不能往后枚举质数，因为不能保证最小质因数是 \(p\)。

代码：

int prime[N], cnt;              // 记录质数的数组
bool is_not_prime[N];           // 标记某个数字不是质数的bool数组

void get_prime(int n) {
    is_not_prime[0] = is_not_prime[1] = true;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!is_not_prime[i]) prime[++cnt] = i;     // 记录质数
        for (int j = 1; j <= cnt && prime[j] * i <= n; j++) { // 枚举质数列表
            is_not_prime[prime[j] * i] = true;      // 标记不是质数
            if (i % prime[j] == 0) break;           // 何时停止？
        }
    }
}