背包问题
本文默认 \(w_i\) 为重量，\(d_i\) 为价值，\(m_i\) 为数量。
01背包
例题：P2871 [USACO07DEC] Charm Bracelet S
题目：
思路：
设 \(f_{i, j}\) 表示选到第 \(i\) 个物品，占用空间为 \(j\)可以获得的最大价值。
有 \(f_{i, j} = \max(f_{i - 1, j}, f_{i - 1, j - w[i]} + d[i])\)。
优化可得 \(f[j] = \max(f[j], f[j - w[i]] + d[i])\)。
注意：\(j\) 递归时一定要倒着来。
代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 3500, M = 13000;
int n, m;
int w[N], d[N];
int f[M];
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> w[i] >> d[i];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = m; j >= w[i]; j--) {
f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + d[i]);
}
}
cout << f[m] << '\n';
return 0;
}
完全背包
例题：P1616 疯狂的采药
题目：
思路：
完全背包中物体可以被选无数次，而01背包每个物体只能选一次。
设 \(f_{i, j}\) 表示选到第 \(i\) 个物品，占用空间为 \(j\) 可以获得的最大价值。
有 \(f_{i, j} = \max(f_{i - 1, j}, f_{i - 1, j - w[i] \times k} + d[i] \times k)\)。
\(k\) 表示选取物体的数量。
优化可得 \(f[j] = \max(f[j], f[j - w[i]] + d[i])\)。
注意：\(j\) 递归时一定要正着来，与01背包相反。
代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using i64 = long long;
const int N = 10010, M = 10000010;
int n, m;
int w[N], d[N];
i64 f[M];
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cin >> m >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> w[i] >> d[i];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = w[i]; j <= m; j++) {
f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + d[i]);
}
}
cout << f[m] << '\n';
return 0;
}
分组背包
例题：P1776 宝物筛选
题目：
思路：
完全背包中物体可以被选无数次，而分组背包每个物体有次数限制。
设 \(f_{i, j}\) 表示选到第 \(i\) 个物品，占用空间为 \(j\) 可以获得的最大价值。
有 \(f_{i, j} = \max(f_{i - 1, j}, f_{i - 1, j - w[i] \times k} + d[i] \times k)\)。
\(k\) 表示选取物体的数量，但其有次数限制。
二进制优化：
-
如果物品 \(i\) 个数 \(m_i\) 乘以重量 \(w_i\)，那么该物品可以按照完全背包的做法来做；
-
将次数 \(m_i\) 分成 \(1 + 2 + 4 + 2^n + k\)，那么 \(1\sim m_i\) 的每个数字都可以被表示出来，那么这些可以被看作一个个整体，可以按照01背包来做。
代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110, W = 40010;
int n, g;
int f[W];
int v[N], w[N], m[N];
void solve() {
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (w[i] * m[i] >= g) {
for (int j = w[i]; j <= g; j++) {
f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + v[i]);
}
}
else {
for (int k = 1; m[i]; k <<= 1) {
int use = min(k, m[i]);
for (int j = g; j >= w[i] * use; j--) {
f[j] = max(f[j], f[j - w[i] * use] + v[i] * use);
}
m[i] -= use;
}
}
}
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cin >> n >> g;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i] >> m[i];
solve();
cout << f[g] << '\n';
return 0;
}
分组背包
例题：P1757 通天之分组背包
题目：
思路：
对组里的每一个物体按照01背包的方式处理，
注意三层循环的顺序，
否则有可能会多选。
代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010, M = 1010;
int n, m, s;
int f[M];
int a[N][N], b[N][N], cnt[N];
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cin >> m >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int x, y, z;
cin >> x >> y >> z;
s = max(s, z);
cnt[z]++;
a[z][cnt[z]] = x, b[z][cnt[z]] = y;
}
for (int i = 1; i <= s; i++) {
for (int k = m; k >= 0; k--) {
for (int j = 1; j <= cnt[i]; j++) {
if (k < a[i][j]) continue;
f[k] = max(f[k], f[k - a[i][j]] + b[i][j]);
}
}
}
cout << f[m] << '\n';
return 0;
}
