【DP】奶牛家谱 Cow Pedigrees

题目描述

农民约翰准备购买一群新奶牛。 在这个新的奶牛群中, 每一个母亲奶牛都生两个小奶牛。这些奶牛间的关系可以用二叉树来表示。这些二叉树总共有N个节点(3 <= N < 200)。这些二叉树有如下性质:

每一个节点的度是0或2。度是这个节点的孩子的数目。

树的高度等于K(1 < K < 100)。高度是从根到最远的那个叶子所需要经过的结点数; 叶子是指没有孩子的节点。

有多少不同的家谱结构? 如果一个家谱的树结构不同于另一个的, 那么这两个家谱就是不同的。输出可能的家谱树的个数除以9901的余数。

输入输出格式

输入格式：

两个空格分开的整数, N和K。

输出格式：

一个整数，表示可能的家谱树的个数除以9901的余数。

输入输出样例

输入样例#1： 

5 3

输出样例#1： 

2

以下引用自洛谷 I_AM_HelloWord

有时候计算一下无用的状态反而是有用的。例如楼下的全都是设dp[i][j]表示i个点刚好j层的方案数，然后弄个4层循环，还有组合数什么乱七八糟的，不仅思维难度高，编程难度高，时空复杂度都高！

既然设刚好j层那么麻烦，我们不妨设dp[i][j]表示i个点小于等于j层的方案数，那么最终我们所需的答案就是dp[n][k]-dp[n][k-1]是不是？

考虑一下dp过程（一般树形背包，除非是多叉树用分组背包只能用dfs写，否则可以先考虑写一个记忆化搜索，因为记忆化搜索虽然效率低一些，但是思维复杂度较低，初始化考虑也会更全面，然后对应的再改写成dp）

枚举一个t，表示分t个点给左子树，剩下i-t-1（除去当前的根）分给右子树，然后乘法原理搞一搞。

即：dp[i][j]=sigma(dp[t][j-1]*dp[i-t-1][j-1]),是不是很简单？

考虑一下初始化：把dp[1][]都设成1就好了，然后枚举点的个数时只需要枚举奇数（这个很容易想到）。

参考代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int Mod=9901;
int dp[210][110],n,k;
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for (int i=1;i<=k;i++)dp[1][i]=1;
    for (int tk=1;tk<=k;tk++)
        for (int i=3;i<=n;i+=2)
            for (int j=1;j<i;j+=2)
                (dp[i][tk]+=dp[j][tk-1]*dp[i-j-1][tk-1])%=Mod;
    printf("%d",(dp[n][k]-dp[n][k-1]+Mod)%Mod);
    return 0;
}