四道介值定理

1

题目叙述

\(n\) 个点的图，把一条链上的点都去掉使得图被分为不联通的并且点数想等的两个部分。要求构造。

题解

考虑构建 dfs 树，如果选择从根节点到叶子节点的一条链，那么图一定会被分为两半并且互相无边。
所以问题转化为树的构造。可以发现，树的情况一定有解，考虑这条链从左边变动到右边的过程，对他使用介值定理就可以证明。

2

题目叙述

给定平面上 \(n\) 个黑点和 \(n\) 个白点。要求连边使得两两无交。给出构造。

题解

这是简单的。考虑归纳。给这些点以横坐标最靠左的点 \(A\) 极角排序，如果 \(A\) 与极角序最小的点颜色不同，那么一起去掉归纳下去。否则颜色就相等。再看看极角序最大的点，如果颜色不同也一起去掉归纳。否则就不同。

只有两边颜色都不同的情况没法做。考虑证明这个东西一定可以从中间分为两部分。使得两边颜色黑白色的点数量都相同。可以发现最开始先+1，最后一步也是+1，也就是说前缀和是-1，那就意味着一定有一个零点。

3

题目叙述

给定 \(6n\) 个点，其中有 \(3n\) 个红点和 \(3n\) 个蓝点，并且前 \(2n\) 个点都是红点，后 \(2n\) 个点都是蓝点。证明一定存在一个 \(2n\) 的区间使得红点与蓝点数量相同。

题解

从左到右考虑长度为 \(2n\) 的区间的变动过程。介值定理，发现是显然的。

4

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