CF1444B Divide and Sum

B-Divide and Sum

题目叙述

给一个长度为 \(2n\) 的数组，现在要把它分为两个长度为 \(n\) 的数组，定义一种划分方法的权值为将其中一个从小到大排列，另一个从大到小排列后两个数组对位相减后的绝对值之和。也就是 \(\sum_{i=1}^n|p_i-q_i|\) ，\(p\) 是递增的，\(q\) 是递减的。

题解

这题是逗乐的。

所有划分方式的结果都是一样的。考虑把配对方式画到数轴上，可以发现任何配对方式任意两个配对组成的区间要么包含要么交叉。如果存在两个配对满足既不包含也不交叉，那么一定不满足条件。这里的配对是指可以产生贡献的，也就是第一块最大与第二块最小配对。而任意两个交叉的配对方式都可以调整为包含的配对方式（不一定仍然满足条件，但是代价不变，这一步的作用就是证明代价都一样）。所以最终一定是任何两个数对都是包含关系。而任意两个配对都是包含关系的情况只有一种，那就是最大与最小，次大与次小......以此类推。所以所有方案的权值都一样。

idea

这种配对、绝对值的题画到数轴上很管用，顺便可以考虑一下是否交叉，是否包含，是否分离。