[Vijos 1676] 陶陶吃苹果

Description

curimit知道陶陶很喜欢吃苹果。于是curimit准备在陶陶生日的时候送给他一棵苹果树。

curimit准备了一棵这样的苹果树作为生日礼物：这棵苹果树有n个节点，每个节点上有c[i]个苹果，这棵树高度为h。

可是，当curimit把这棵树给陶陶看的时候，陶陶却说：“今年生日不收礼，收礼只收节点数减高度不超过k的苹果树。”这下curimit犯难了，curimit送来的树枝繁叶茂，不满足节点数-高度≤k。于是curimit决定剪掉一些枝条，使得修剪过后的树满足节点数-高度≤k，但是curimit又想保留尽量多的苹果数目。curimit想请你帮他算算经过修剪后的树最多能保留多少个苹果。

注：
一， 节点1为树根，不能把它剪掉。

二， 1个节点的树高度为1。

Input

输入文件的第一行为两个整数n，k分别表示这棵树有n个节点，修剪后的树节点数-高度≤k。

第二行开始到第n+1行，每行有两个数，第i+1行的两个数father[i]和c[i]分别表示节点i的父亲是father[i]和节点i处有c[i]个苹果。

规定：节点1的父亲为0。

Output

输出文件仅包含一行，ans，表示在满足修建后的树节点数-高度≤k的条件下，最多能保留多少个苹果。

Hint

对于100%的数据，n≤4000 0≤k≤=500

Solution

翻译一下题目，就是让你选一条链，然后再选 \(k\) 个点，使得这一条链上的点权加上选出来的点权和最大。

显然树形 \(dp\) 。

观察到以下性质：选出来的链，一定是从根节点到叶子节点的某条链。如果不这样选，总能找到更优的选法使总答案变大。

所以对于树上每条到叶子的链，通过树形 \(dp\) 找出以这条链为界限向左和向右选 \(j\) 个点能获得的最大收益，那么最后答案就是 \(\max \limits_{sons[i]=0}(sum[i]+\max\limits_{0\leq j\leq k}f[i][j]+g[i][k-j])\)。

这个 \(f\) 数组怎么求呢？

在 \(dfs\) 的过程中，搜完一条链并回溯之后方可继续搜下一条链。那么在搜当前链的过程中，根节点里存的信息实际上是上一条完整的链的信息，即 \(f[1][j]\) 表示当前这条链左边所有点中选 \(j\) 个的最大点权和，于是我们就从一号点一路将这个 \(f\) 数组放进叶子节点，然后再从叶子节点向上更新选当前这条链上某个点的最大价值，这就求完了 \(f\) 数组。 \(g\) 数组也是同理。

最后按照上面的公式更新即可。

#include<cstdio>
#include<cctype>
#define N 4005
#define max(A,B) ((A)>(B)?(A):(B))
#define min(A,B) ((A)<(B)?(A):(B))

int val[N];
int deg[N];
int sum[N];
int cnt,n,m;
int f[N][505];
int g[N][505];
int son[N][N];

int getint() {
	int x=0;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
	while(isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	return x;
}

void dfs1(int now){
	sum[now]+=val[now];
	for(int i=1;i<=son[now][0];i++){
		int to=son[now][i];
		for(int j=0;j<=m;j++)
			f[to][j]=f[now][j];
		sum[to]=sum[now];
		dfs1(to);
		for(int j=1;j<=m;j++)
			f[now][j]=max(f[now][j],f[to][j-1]+val[to]);
	}
}

void dfs2(int now){
	for(int i=son[now][0];i;i--){
		int to=son[now][i];
		for(int j=0;j<=m;j++)
			g[to][j]=g[now][j];
		dfs2(to);
		for(int j=1;j<=m;j++)
			g[now][j]=max(g[now][j],g[to][j-1]+val[to]);
	}
}

signed main() {
	n=getint(),m=getint();
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		if(i==1){
			getint(),val[1]=getint();
			continue;
		} else {
			int a=getint();
			son[a][++son[a][0]]=i;
			val[i]=getint();
		}
	}
	dfs1(1);
	dfs2(1);
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(son[i][0])
			continue;
		for(int j=0;j<=m;j++)
			ans=max(ans,f[i][j]+g[i][m-j]+sum[i]);
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}