[HEOI2015] 兔子与樱花

Description

很久很久之前，森林里住着一群兔子。有一天，兔子们突然决定要去看樱花。兔子们所在森林里的樱花树很特殊。樱花树由 \(n\) 个树枝分叉点组成，编号从 \(0\) 到 \(n-1\)，这 \(n\) 个分叉点由 \(n-1\) 个树枝连接，我们可以把它看成一个有根树结构，其中 \(0\) 号节点是根节点。这个树的每个节点上都会有一些樱花，其中第 \(i\) 个节点有 \(c_i\) 朵樱花。樱花树的每一个节点都有最大的载重 \(m\)，对于每一个节点 \(i\)，它的儿子节点的个数和 \(i\) 节点上樱花个数之和不能超过 \(m\)，即 \(son(i) + c_i \leq m\)，其中 \(son(i)\) 表示 \(i\) 的儿子的个数，如果 \(i\) 为叶子节点，则 \(son(i) = 0\)

现在兔子们觉得樱花树上节点太多，希望去掉一些节点。当一个节点被去掉之后，这个节点上的樱花和它的儿子节点都被连到删掉节点的父节点上。如果父节点也被删除，那么就会继续向上连接，直到第一个没有被删除的节点为止。

现在兔子们希望计算在不违背最大载重的情况下，最多能删除多少节点。

注意根节点不能被删除，被删除的节点不被计入载重。

Input

第一行输入两个正整数，\(n\) 和 \(m\) 分别表示节点个数和最大载重

第二行 \(n\) 个整数 \(c_i\) ，表示第 \(i\) 个节点上的樱花个数

接下来 \(n\) 行，每行第一个数 \(k_i\) 表示这个节点的儿子个数，接下来 \(k_i\)个整数表示这个节点儿子的编号

Output

一行一个整数，表示最多能删除多少节点。

Hint

对于 \(30\%\) 的数据，\(1\leq n\leq 5000, 1\leq m\leq 100, 0\leq c_i\leq 100\)

对于 \(70\%\) 的数据，\(1\leq n\leq 200000, 1\leq m\leq 2000, 0\leq c_i\leq 1000\)

对于 \(100\%\) 的数据，\(1\leq n\leq 2000000, 1\leq m\leq 100000, 0\leq c_i\leq 1000\)

数据保证初始时，每个节点樱花数与儿子节点个数之和大于 \(0\) 且不超过 \(m\)

Solution

做法：自底向上，贪心的优先删除每个点的儿子中代价最小的一个。

贪心：以 \(sons[i]+c[i]\) 为 \(i\) 点的代价，每个点我们选取代价最小的删除，结果一定不会变差。

证明：对于 \(i\) 点和 \(i\) 的两个儿子 \(j,p\)，假设 \(c[j]+sons[j]<c[p]+sons[p]\)，由决策包容性，选 \(j\) 优先删除一定比选 \(p\) 优先删除更优。

自底向上：从根节点 \(dfs\) ，从叶子结点向上回溯。路上如果遇到能删除的点就删，不必考虑其祖先。

证明：设点 \(i\) 的儿子是 \(j\) ，\(j\) 的兄弟是 \(p\) ，\(j\) 还有一个儿子是 \(q\)。

\(dfs\) 的过程中，如果在回溯到 \(j\) 的时候发现可以删除 \(q\)，那么就删除 \(q\)，并更新 \(j\) 本身的代价，这样可能会导致无法再回溯到 \(i\) 点的时候删除 \(p\)。

粗略想一下这不是有后效性嘛，但是因为贪心删了儿子而导致这个点不能再删，那么我们只会损失一个点，就是该点，而删除儿子至少会删除一个，所以不会亏。。

综上，自底向上的删除无后效性，满足贪心性质。

Code

#include<map>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#define N 2000005

int n,m;
int ans;
int c[N];
int sons[N],cnt;
int tot[N],l[N],r[N];

inline char nc(){
    static const int BS=1<<22;
    static unsigned char buf[BS],*st,*ed;
    if(st==ed) ed=buf+fread(st=buf,1,BS,stdin);
    return st==ed?EOF:*st++;
}
//#define nc getchar
inline int getint(){
    char ch;
    int res=0;
    while(!isdigit(ch=nc()));
    while(isdigit(ch)){
        res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^48);
        ch=nc();
    }
    return res;
}

bool cmp(int a,int b){
    return sons[a]+c[a]<sons[b]+c[b];
}

void dfs(int now){
    if(!sons[now]) return;
    for(int i=l[now];i<=r[now];i++)
        dfs(tot[i]);
    std::sort(tot+l[now],tot+r[now]+1,cmp);
    for(int i=l[now];i<=r[now];i++){
        if(c[tot[i]]+sons[tot[i]]+c[now]+sons[now]-1<=m){
            ans++;
            c[now]+=c[tot[i]];
            sons[now]+=sons[tot[i]]-1;
        }
        else break;
    }
}

signed main(){
    n=getint(),m=getint();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        c[i]=getint();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        sons[i]=getint();
        l[i]=cnt+1;
        r[i]=cnt+sons[i];
        for(int j=1;j<=sons[i];j++){
            int a=getint()+1;
            tot[++cnt]=a;
        }
    }
    dfs(1);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}