[TJOI2015] 棋盘
Description
为了提高智商,ZJY去新世界旅游了。可是旅游过后的ZJY杯具的发现要打开通往原来世界的门,必须要解开门上面画的谜题。谜题是这样的:有个\(n\)行\(m\)列的棋盘,棋盘上可以放许多特殊的棋子。每个棋子的攻击范围是\(3\)行,\(p\)列。输入数据用一个\(3\times p\)的矩阵给出了棋子攻击范围的模板,棋子被默认为模板中的第\(1\)行,第\(k\)列,则棋子能攻击到的位置是\(1\),不能攻击到的位置是\(0\)。\(1\leq p\leq m,0\leq k<p\)。输入数据保证第\(1\)行第\(k\)列的位置是\(1\)。打开门的密码就是,在要求棋子互相不能攻击到的前提下,摆放棋子的方案数。注意什么棋子都不摆放也算作一种可行方案。由于方案数可能很大,而密码为\(32\)位的二进制密码,所以ZJY仅需要知道方案数对\(2^{32}\)取余数的结果即可。
Input
输入数据的第一行为两个整数\(n\)和\(m\),表示棋盘的大小。第二行为两个整数\(p\)和\(k\),表示接下来的攻击范围模板的大小,以及棋子在模板中的位置。接下来三行,每行有\(P\)个数,表示攻击范围的模版。每个数字后有一个空格。
Output
输出数据仅有一行,一个整数,表示可行的方案数模\(2^{32}\)的余数。
Range
对于\(10\%\)，\(1 \leq n \leq 5,1 \leq m \leq 5\)
对于\(50\%\)，\(1 \leq n \leq 1000,1 \leq m \leq 6\)
对于\(100\%\)，\(1\leq n\leq 1000000,1\leq m\leq 6\)
Solution
恶心题。
被这题卡了一天。
首先注意到它的行和列是从 \(0\) 开始标号的，所以第 \(1\) 行第 \(p\) 列其实是中间一行的某一列。
预处理出所有能摆放和两行之间能转移的情况。
这里要用位运算，最开始拿数组模拟每位弄了半天还是错的，用位运算一下就出来了。
观察到转移可以用矩阵加速，于是一个矩阵快速幂敲上去就行了。
注意最后求答案矩阵的时候要新开一个数组不能直接在 \(f\) 数组上面求！
Code
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstring>
#define int unsigned long long
int maxn;
int mp[5];
int n,m,p,k;
bool vis[105];
int f[70][70];
const int mod=4294967296;
struct Matrix{
int a[100][100];
void clear(){
memset(a,0,sizeof a);
}
void init(){
for(int i=0;i<maxn;i++)
a[i][i]=1;
}
Matrix operator*(const Matrix &x)const{
Matrix z; z.clear();
for(int i=0;i<maxn;i++){
for(int j=0;j<maxn;j++){
for(int k=0;k<maxn;k++){
z.a[i][j]+=(x.a[i][k]*a[k][j])%mod;
z.a[i][j]%=mod;
}
}
}
return z;
}
void print(){
for(int i=0;i<maxn;i++){
for(int j=0;j<maxn;j++)
printf("i=%lld,j=%lld,a=%lld\n",i,j,a[i][j]);
}
puts("");
for(int i=0;i<maxn;i++){
for(int j=0;j<maxn;j++)
printf("%lld",a[i][j]);
puts("");
}
}
}M;
void read(int &x){
x=0; char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
while(isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
}
bool check(int x){
for(int i=1;i<=m;i++){
if(x&(1<<i-1)){
if(p-k+1<=i){
if((x&(mp[2]<<(i+k-p-1)))!=(1ll<<(i-1))){
//printf("x=%lld,i=%lld\n",x,i);
//printf("i-1=%lld,1<<i-1=%lld\n",i-1,1<<i-1);
//printf("i+k-p-1=%lld,mp[2]<<=%lld,x&=%lld,1<<=%lld\n",i+k-p-1,mp[2]<<i+k-p-1,x&(mp[2]<<i+k-p-1),1ll<<(i-1));
return 0;
}
}
else{
if((x&(mp[2]>>(p-k+1-i)))!=(1ll<<i-1))
return 0;
}
}
}
return 1;
}
bool judge(int x,int y){
for(int i=1;i<=m;i++){
if(x&(1<<i-1)){
if(p-k+1<=i){
if((y&(mp[3]<<(i+k-p-1))))
return 0;
}
else{
if((y&(mp[3]>>(p-k+1-i))))
return 0;
}
}
if(y&(1<<i-1)){
if(p-k+1<=i){
if((x&(mp[1]<<(i+k-p-1))))
return 0;
}
else{
if((x&(mp[1]>>(p-k+1-i))))
return 0;
}
}
}
return 1;
}
Matrix ksm(Matrix a,int b,int c){
Matrix ans; ans.init();
while(b){
if(b&1)
ans=ans*a;
a=a*a;
b>>=1;
}
return ans;
}
void mul(int a[70][70],int b[70][70],int c[70][70])
{
int ret[70][70];
memset(ret,0,sizeof ret);
for(int i=0;i<maxn;i++)
for(int k=0;k<maxn;k++)
for(int j=0;j<maxn;j++)
{
ret[i][j]=(ret[i][j]+a[i][k]*b[k][j]%mod)%mod;
}
memcpy(c,ret,sizeof ret);
}
int a[70][70];
int ans[70][70];
void qm(int y)
{
for(int i=0;i<maxn;i++)
ans[i][i]=1;
while(y)
{
if(y&1) mul(ans,a,ans);
mul(a,a,a);
y>>=1;
}
}
signed main(){
read(n),read(m),read(p),read(k); k++;
maxn=1<<m;
for(int i=1;i<=3;i++){
for(int x,j=1;j<=p;j++){
read(x);
if(x)
mp[i]|=1<<p-j;
}
}
Matrix aa; aa.clear();
for(int i=0;i<maxn;i++){
if(check(i)){
vis[i]=1,f[0][i]=1;
//printf("i=%lld\n",i);
}
}
for(int i=0;i<maxn;i++){
for(int j=0;j<maxn;j++){
if(vis[i] and vis[j]){
if(judge(i,j)){
//printf("i=%lld,j=%lld\n",i,j);
aa.a[j][i]=1;
}
}
}
}
/*for(int i=0;i<maxn;i++)
a[0][i]=a[i][0]=1;*/
//aa.print();
Matrix b=ksm(aa,n-1,mod);
int c[70][70]; memset(c,0,sizeof c);
for(int i=0;i<maxn;i++){
for(int j=0;j<maxn;j++){
for(int k=0;k<maxn;k++)
(c[i][j]+=f[i][k]*b.a[k][j])%=mod;
}
}
/*qm(n-1);
mul(f,ans,ans);*/
int sum=0;
for(int i=0;i<maxn;i++){
for(int j=0;j<maxn;j++)
(sum+=c[i][j])%=mod;
}
printf("%llu\n",sum%mod);
return 0;
}
