[自用] 数学小定理相关

写在前面

由于上一篇数学相关分版块记录定理及证明，对于小定理等略有繁琐，故新开一篇博客记录一些数学小芝士，以此备忘。

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关于质因子

\(1-2\times 10^9\) 中任何数的不同质因子都不会超过 \(10\) 个，且所有质因子的指数总和不超过 \(30\)。

证明：因为最小的 \(11\) 个质因子相乘 \(2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23\times 29\times 31>2\times 10^9\)，所以 \(N\leq 2\times 10^9\) 不可能有多于 \(10\) 个不同质因子。
因为即使只包含最小的质数，仍然有 \(2^{31}>2\times 10^9\) ，所以 \(N\leq 2\times 10^9\) 的质因子质数总和不会超过 \(30\)。

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欧拉函数

\[\sum _{d\mid n}\phi(d)=n \]

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扩展欧拉定理

\[a^b\equiv \begin{cases}a^{b\% \phi(p)}\;\;\;\qquad gcd(a,p)=1\\a^b\qquad\;\qquad\;\; gcd(a,p)\ne1,b<\phi(p)\\a^{b\%\phi(p)+\phi(p)}\quad gcd(a,p)\ne1,b\geq\phi(p)\end{cases} \qquad (mod\;p) \]

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小引理

若 \(gcd(a,n)=1\)，则满足 \(a^x\equiv 1\quad (mod\;n)\) 的最小正整数 \(x_0\) 是 \(\phi(n)\) 的约数。

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范德蒙德卷积

\[\sum_{i+j=k} C_n^i \times C_m^j = C_{n+m}^k \]

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不会证的东西

\[\lfloor{\frac{\lfloor{\frac{n}{i}}\rfloor}{j}}\rfloor=\lfloor{\frac{n}{i\times j}}\rfloor \]

\[x\;\text{mod}\;yz\;\text{div}\;z=x\;\text{div}\;z\;\text{mod}\; y \]

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带根号求\(k\)次方

有时候需要求这个式子：\((a+b\sqrt c)^k\)。比如说求一下这个式子的整数部分。或许会有特性是\((a-b\sqrt c)<1\)

直接求？精度误差很大。

有个结论是:\((a+b\sqrt c)^k+(a-b\sqrt c)^k\) 肯定是个整数。

证明可以用二项式定理那一套证，指数是偶数的是整数，指数是奇数的直接消掉了。

又观察到\((a-b\sqrt c)^k\)是个非常非常小的小数，所以我们求的式子的整数部分就是这个整数减去1了。