[Luogu 1395] 会议

题目

Description

有一个村庄居住着n个村民，有n-1条路径使得这n个村民的家联通，每条路径的长度都为1。现在村长希望在某个村民家中召开一场会议，村长希望所有村民到会议地点的距离之和最小，那么村长应该要把会议地点设置在哪个村民的家中，并且这个距离总和最小是多少？若有多个节点都满足条件，则选择节点编号最小的那个点。

Input

第一行。一个数n，表示有n个村民。

接下来n-1行，每行两个数字a和b，表示村民a的家和村民b的家之间存在一条路径。

Output

一行输出两个数字x和y

x表示村长将会在哪个村民家中举办会议

y表示距离之和的最小值

Range

70% n<=1000

100% n<=50000

Solution

第一想法是求出每个点到根节点的距离，然后 $O(n^2)$ lca 瞎搞，但是会 T。

所以换 O(n) 的树形 dp。

不妨钦定以 1 为根。

记录 size[i] 表示 i 与 i 的子树的结点个数之和。

定义 d[i] 表示在点 i 开会的距离和。

定义 subtree(x) 表示以 x 为根的子树中点的集合。显然 subtree(x)∈n

那么对于树上的非根节点 x，设它的父亲为 y。

所以转移方程 d[x]=d[y]+(n-size[x])-size[x]=d[y]+n-2*size[x]

意思是，

① 考虑不在 subtree(x) 中的点，它们到 x 的距离和是 它们到 y 的距离和加上 (n-size[x])

② 而对于那些在 subtree(x) 中的点，它们到 x 的距离和就是 它们到 y 的距离和再减去 (size[x])

所以合并两式，d[x]=d[y]+n-2*size[x]

时间复杂度 O(n)

Code

// By YoungNeal
#include<cstdio>
#define N 50005

int d[N];
int f[N];
int n,cnt;
int size[N];
bool vis[N];
int head[N];

struct Edge{
    int to,nxt;
}edge[N<<1];

void add(int x,int y){
    edge[++cnt].to=y;
    edge[cnt].nxt=head[x];
    head[x]=cnt;
}

void dfs1(int now){
    size[now]=1;
    for(int i=head[now];i;i=edge[i].nxt){
        int to=edge[i].to;
        if(d[to]) continue;
        d[to]=d[now]+1;
        dfs1(to);
        size[now]+=size[to];
    }
}

void dfs(int now,int fa){
    f[now]=f[fa]+n-2*size[now];
    for(int i=head[now];i;i=edge[i].nxt){
        int to=edge[i].to;
        if(to==fa) continue;
        dfs(to,now);
    }
}

signed main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int x,y,i=1;i<n;i++){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y);add(y,x);
    }
    d[1]=1;
    dfs1(1);
    int maxn=0,idx=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) maxn+=d[i];
    maxn-=n;
    f[1]=maxn;
    for(int i=head[1];i;i=edge[i].nxt){
        int to=edge[i].to;
        dfs(to,1);
    }
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(f[i]<maxn) maxn=f[i],idx=i;
    }
    printf("%d %d",idx,maxn);
    return 0;
}