[总结] 后缀自动机学习笔记

后缀自动机大型总结

终于填上这个坑了woc

怎么实现的以及原理不想写了

总结一下套路和性质？

基本问题

1、 求多个串的\(\text{LCS}\)。

有两个做法，只会一种，就是对第一个串建\(\text{SAM}\)，剩下的串在\(\text{SAM}\)上跑，在每个节点记录一下当前串的最长匹配长度，以及所有串的最短匹配长度。最长匹配长度要对子树取\(\max\)因为能匹配一个点的孩子肯定能匹配该点。

2、 统计某个子串的出现次数。

这个可以放在\(\text{SAM}\)上跑匹配，假设匹配到了点 \(x\)，那就在\(\text{parent}\)树上一直跳\(\text{father}\)并且还要满足当前点的\(\text{len}\)要大于等于该子串的长度。最后跳到的点在\(\text{parent}\)树上的\(\text{size}\)就是答案。

3、 求一个字符串的最小表示。

可以把串倍长一遍接在后面，然后对新串建\(\text{SAM}\)，在上面每个点都选一个字典序最小的出边跑过去就好了，这样肯定能找到长度为原长的某个子串。

4、 求排名第 \(k\) 小的子串（本质相同算一种/多种）。

首先记录 \(f[i]\) 表示从自动机上点 \(i\) 开始，有多少个不同的子串。\(f[i]\) 的初值是 \(size[i]\)，如果本质相同算一种，那么 \(size[i]=1\)，否则 \(size[i]\) 为 \(\text{parent}\)树上点 \(i\) 的子树\(\text{size}\)。为什么要这么设初值？这两种问题的区别就是，可以在每个点“结束”多少次，或者说从自动机上的点开始走，那可以在原串的几个位置走。然后在\(\text{DAG}\)上\(\text{DP}\)出来所有点的 \(f\) 值。接着从小到大类似平衡树找第 \(k\) 大那样找就好了。注意每次走过一条边都可以直接在当前点结束一个子串 暴毙，所以每走过一个点都需要减去当前点的 \(size\)，表示可以在这里就产生一个子串。

5、 给定一个主串和一个询问串，多组询问，每次求询问串的 \([l,r]\) 能否在主串中匹配。

可以先把整个询问串拿上主串的\(\text{SAM}\)跑一遍匹配，在第 \(i\) 位记录 \(mx[i]\) 表示询问串匹配的右端点是 \(i\) 时，最长能匹配多长。根据单调性，如果可以匹配 \([i-mx[i]+1,i]\)，那一定可以匹配 \([i-mx[i]+2,i]\)。

6、 给定一个主串和一个询问串，多组询问，每次求询问串的 \([l,r]\) 在主串中出现了多少次。

还是先把整个询问串拿到主串的\(\text{SAM}\)上跑一遍，记录 \(mx[i]\) 的同时记录 \(pos[i]\) 表示询问串匹配的右端点是 \(i\) 时，在自动机上的位置。对于询问 \([l,r]\)，如果 \(mx[r]<r-l+1\)，答案为 \(0\)。否则需要在\(\text{parent}\)树上倍增找到最顶端的 \(i\) 满足 \(len[i]\ge r-l+1\)。此时的 \(sze[i]\) 就是答案。

7、给定一个字符串，求该字符串所有仅出现了一次的子串

先建出\(\text{SAM}\)，很明显只出现了一次的子串一定是\(\text{parent}\)树上的叶子节点，他们的\(\text{endpos}\)集合大小必定为 \(1\)。记录 \(end[i]\) 表示自动机上点 \(i\) 对应的子串的任意一个结束位置，那么对于叶子节点 \(i\)，它对应的子串的出现位置就是 \([end[i]-len[i]+1,end[i]]\)。

8、给定字符串，多组询问。每次给定该字符串的若干后缀，求两两\(\text{LCP}\)长度。\(\sum t\leq 3\cdot 10^6\)

首先两个后缀的\(\text{LCP}\)长度就是它们在反串的\(\text{parent}\)树上\(\text{LCA}\)的 \(len\) 值。那多个后缀两两\(\text{LCP}\)长度就可以通过树形\(\text{DP}\)来求。又因为 \(\sum t\leq 3\cdot 10^6\)，所以可以建虚树，在虚树上\(\text{DP}\)就行了。

9、给定一个主串和多个询问串，求询问串的每个前缀在主串的\([l,r]\)区间内出现了多少次。\(\sum t\leq 3\cdot 10^6\)

对主串建出\(\text{SAM}\)后利用线段树合并维护每个点的\(\text{endpos}\)集合。同时拿询问串在主串上面匹配，若匹配到了询问串的第 \(i\) 个字符，当前在自动机上的点 \(j\)，那么在点 \(j\) 的线段树上询问一下在 \([l,r]\) 内的值即可。

10、给定一个主串和多个询问串，求询问串所有本质不同的循环同构串中，每个串在主串的出现次数

每个询问串倍长接在后边，然后在主串的\(\text{SAM}\)里跑匹配。如果没有本质不同的要求，按照 6 的做法即可。有了这个要求，就在找到的最浅的满足要求的点打个标记，如果该点打过标记就不计入答案。

下面是广义\(\text{SAM}\)。

11、给定n个字符串，求每个字符串有多少个子串是至少k个串的子串

在\(\text{SAM}\)上每个状态开\(\text{set}\)记录这个状态是哪些串的子串。

然后对于每个字符串在广义\(\text{SAM}\)上跑匹配，如果匹配到的点的出现次数\(<k\)，那就暴力跳\(\text{father}\)直到出现次数 \(\ge k\)。那当前节点的 \(len\) 值就需要被加进答案里。本质上统计的是对于每个 \(x\)，每个串的所有以 \(x\) 为结束点的子串的个数。

12、给定n个字符串，对于每个字符串求有多少子串满足该子串没有在其它任何一个字符串中出现

建广义\(\text{SAM}\)，每个节点打标记是在哪个串出现。如果有多个标记设置为 \(-1\)。然后一路拓扑即可。因为在\(\text{parent}\)树上一个点的标记是 \(-1\)，那么它所有祖先的标记一定都是 \(-1\)。