[总结] 二项式反演学习笔记

二项式反演

其实就是两个式子：

\[f_n = \sum_{i=0}^n (-1)^i {n \choose i} g_i \Leftrightarrow g_n = \sum_{i=0}^n (-1)^i {n \choose i} f_i \]

和更一般的式子（这个是至多和恰好的关系？：

\[f_n = \sum_{i=0}^n {n \choose i} g_i \Leftrightarrow g_n = \sum_{i=0}^n (-1)^{n-i} {n \choose i} f_i \]

和一样一般的式子（这个是至少和恰好：

\[f_k=\sum_{i=k}^n {i\choose k} g_i\Leftrightarrow g_k=\sum_{i=k}^n (-1)^{i-k} {i\choose k} f_i \]

证明的话暴力把一个代入另一个就行了。

至少和恰好的例子就是错排

至多和恰好的例子就是 球染色问题：

有 \(n\) 个球排成一行，你有 \(k\) 种颜色，要求给每一个球染色，相邻两个球颜色不可以相同，并且每种颜色至少使用一次

这是经常在高中数学组合那个部分见到的一个问题，只不过高中题目中数都很小

还是和刚刚的想法一样，如果没有每种颜色至少一次这个条件，那么问题很简单，答案是 \(k(k−1)^{n−1}\)。这些方案是由恰好使用了 \(i(i=0,1,2,⋯,k)\) 种颜色的方案组成的，那么设 \(f_i\)为恰好使用了 \(i\) 种颜色的方案数，可以得到

\[k(k-1)^{n-1} = \sum_{i=0}^k {k \choose i} f_i \]

反演得到

\[f_k = \sum_{i=2}^k (-1)^{k+i} {k \choose i} i(i-1)^{n-1} \]

（转自miskcoo

例题

[Luogu4859] 已经没有什么好害怕的了

Description

给定两个长度为 \(n\) 的序列 \(a,b\)。要求两两配对，使得 \(a>b\) 比 \(a<b\) 的组数恰好多 \(k\) 组。问方案数。\(n\leq 10^5\)。

Sol

二项式反演套路：这个恰好不好求啊 → 诶这个至多/至少是不是可求啊 → AC

这里就是，观察到恰好不好求，但是如果是至少的话可以求啊

设 \(dp[i][j]\) 表示 \(a\) 序列的前 \(i\) 个，配了 \(j\) 对 \(a>b\) 的方案数。

显然有 \(dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1]*(mx[i]-j+1)\) 。\(mx[i]\) 表示 \(b\) 中小于 \(a[i]\) 的最靠右端点。

那么 \(dp[i][j]\times (n-j)!\) 就是至少配了 \(j\) 对的方案数，因为剩下的随便选，还是有可能再配上对。

然后套那个容斥的式子就吼了。

代码

[BZOJ2839] 集合计数

Description

给定 \(n\) 个元素，相对应的就有 \(2^n\) 个集合。现在要在这 \(2^n\) 个集合中取出若干集合，使得他们的交集的元素个数为 \(K\)，求取法的方案数。对 \(10^9+7\) 取模。\(n\leq 10^6\)。

Sol

还是那个套路。

这里发现，还是至少比较好求。

所以设 \(g[i]\) 表示选出来的集合交集大小至少为 \(i\) 的方案数。

容易发现 \(\large g[i]={n\choose i}\cdot (2^{2^{n-i}}-1)\) 。这个式子的含义是，先选出大小为 \(i\) 的交集具体是哪些元素，有 \(\large {n\choose i}\) 种选法，然后包含这 \(i\) 个元素的集合一共有 \(\large 2^{n-i}\) 个，每个集合都可以选或不选，但是不能选空集，所以总方案数就是 $\large {n\choose i}\cdot (2^{2{n-i}}-1) $。 （但是我发现不加 \(-1\) 也完全\(\text{ojbk}\)？

代码