[国家集训队] Crash的文明世界

Description

给定一棵 \(n\) 个点的树，对于每个点 \(i\) 求 \(S(i)=\sum\limits_{j=1}^n \operatorname{dist(i,j)}^k\) 。\(n\leq 50000,k\leq 150\)。

Sol

根据斯特林展开，原式化为

\[\begin{align}S(i)= & \sum\limits_{j=1}^n \sum\limits_{p=0}^k S(k,p)\cdot \dbinom{\operatorname{dist(i,j)}}{p} \cdot p! \nonumber \\ = & \sum_{p=0}^kS(k,p)\cdot p!\cdot\sum_{j=1}^n\dbinom{\operatorname{dist(i,j)}}{p} \nonumber \end{align} \]

这个式子启发我们对于每个点 \(i\) 和每个 \(p\) ，维护好 \(\sum\limits_{j=1}^n \dbinom{\operatorname{dist(i,j)}}p\) 就好了

又因为 \(\dbinom{n}{m}=\dbinom{n-1}{m-1}+\dbinom{n-1}{m}\) ，所以设 \(dp[i][p]=\sum\limits_{j=1}^n \dbinom{\operatorname{dist(i,j)}}p\) ，这样就可以递推了。

先做一遍树形\(\text{DP}\)求出每个点子树的\(\mathrm{dp}\)值，再换根一下求出子树外的\(\text{dp}\)值就行了。

复杂度 \(O(nk)\)。

Code

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef double db;
typedef long long ll;
const int K=155;
const int N=50005;
const int mod=10007;

int dp[N][K],f[K];
int fac[N],S[K][K];
int n,k,cnt,head[N];

struct Edge{
    int to,nxt;
}edge[N<<1];

void add(int x,int y){
    edge[++cnt].to=y;
    edge[cnt].nxt=head[x];
    head[x]=cnt;
}

void init(int n,int m){
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
    S[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=K;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            S[i][j]=(S[i-1][j-1]+1ll*S[i-1][j]*j%mod)%mod;
}

void dfs(int now,int fa=0){
    dp[now][0]=1;
    for(int i=head[now];i;i=edge[i].nxt){
        int to=edge[i].to;
        if(to==fa) continue;
        dfs(to,now);
        (dp[now][0]+=dp[to][0])%=mod;
        for(int j=1;j<=k;j++)
            (dp[now][j]+=dp[to][j-1]+dp[to][j])%=mod;
    }
}

void dfs2(int now,int fa=0){
    if(fa){
        f[0]=dp[now][0];
        (dp[fa][0]-=dp[now][0]-mod)%=mod;
        for(int j=1;j<=k;j++)
            (dp[fa][j]-=dp[now][j-1]+dp[now][j]-mod-mod)%=mod,f[j]=dp[now][j];
        (dp[now][0]+=dp[fa][0])%=mod;
        for(int j=1;j<=k;j++)
            (dp[now][j]+=dp[fa][j-1]+dp[fa][j])%=mod;
        (dp[fa][0]+=f[0])%=mod;
        for(int j=1;j<=k;j++)
            (dp[fa][j]+=f[j]+f[j-1])%=mod;
    }
    for(int i=head[now];i;i=edge[i].nxt){
        int to=edge[i].to;
        if(to==fa) continue;
        dfs2(to,now);
    }
}

signed main(){
    init(N-5,K-5);
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int x,y,i=1;i<n;i++)
        scanf("%d%d",&x,&y),add(x,y),add(y,x);
    dfs(1); dfs2(1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int ans=0;
        for(int j=0;j<=k;j++)
            (ans+=1ll*S[k][j]%mod*fac[j]%mod*dp[i][j]%mod)%=mod;
        printf("%d\n",ans);
    } return 0; 
}