[PKUWC2018] 随机游走

Description

给定一棵 \(n\) 个结点的树，你从点 \(x\) 出发，每次等概率随机选择一条与所在点相邻的边走过去。

有 \(Q\) 次询问，每次询问给定一个集合 \(S\)，求如果从 \(x\) 出发一直随机游走，直到点集 \(S\) 中所有点都至少经过一次的话，期望游走几步。

特别地，点 \(x\)（即起点）视为一开始就被经过了一次。

答案对 $998244353 $ 取模。

Solution

考虑 min-max 容斥，问题变成求从 \(x\) 点出发第一次到集合 \(S\) 中的点的期望步数

枚举集合 \(S\)，尝试树形DP求出

设 \(f(i,S)\) 表示从点 \(i\) 出发第一次到达集合 \(S\) 中的点的期望步数

则有转移 \(f(i,S)=1+\frac1{deg(i)}\cdot f(fa[i],S)+\frac1{deg(i)}\sum\limits_{son}f(son,S)\)

根据我从没见过的树形DP常见套路，\(f(i)\) 一般都可以写成 \(A\cdot f(fa)+B\) 的形式

然后推式子

\[f(i,S)=1+\frac1{deg(i)}\cdot f(fa[i],S)+\frac1{deg(i)}(\sum\limits_{son}A(son)\cdot f(x)+B(son)) \]

\[f(i,S)=\frac1{deg(i)-\sum\limits_{son}A(son)}\cdot f(fa[i],S)+\frac{deg(i)+\sum\limits_{son}B(son)}{deg(x)-\sum\limits_{son}A(son)} \]

得:\(A(i)=\frac1{deg(i)-\sum\limits_{son}A(son)},B(i)=\frac{deg(i)+\sum\limits_{son}B(son)}{deg(x)-\sum\limits_{son}A(son)}\)

当DP到一个 \(S\) 集合中的节点 \(p\) 时，令 \(A(p)=B(p)=0\)，表示从这个点出发期望走 \(0\) 步就可以到达集合 \(S\) 中的点。最后的 \(B(x)\) 就是答案（因为 \(f(fa[x])\) 始终为 \(0\) )

Code

#include<bits/stdc++.h>
using std::min;
using std::max;
using std::swap;
using std::vector;
typedef double db;
typedef long long ll;
#define pb(A) push_back(A)
#define pii std::pair<int,int>
#define all(A) A.begin(),A.end()
#define mp(A,B) std::make_pair(A,B)
#define int long long
const int N=19;
const int mod=998244353;

int a[N],b[N],f[1<<N],cnts[1<<N];
int n,q,s,cnt,maxn,head[N],deg[N];

struct Edge{
    int to,nxt;
}edge[N<<1];

void add(int x,int y){
    edge[++cnt].to=y;
    edge[cnt].nxt=head[x];
    head[x]=cnt;
}

int ksm(int a,int b=mod-2,int ans=1){
    while(b){
        if(b&1) ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;b>>=1;
    } return ans;
}

void dfs(int now,int fa,int S){
    if(S>>now-1&1) return a[now]=b[now]=0,void();
    for(int i=head[now];i;i=edge[i].nxt){
        int to=edge[i].to;
        if(to==fa) continue;
        dfs(to,now,S);
        (a[now]+=a[to])%=mod;(b[now]+=b[to])%=mod;
    } a[now]=ksm((deg[now]-a[now]+mod)%mod);b[now]=(b[now]+deg[now])%mod*a[now]%mod;
}

int getint(){
    int X=0,w=0;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))w|=ch=='-',ch=getchar();
    while( isdigit(ch))X=X*10+ch-48,ch=getchar();
    if(w) return -X;return X;
}

signed main(){
    n=getint(),q=getint(),s=getint();maxn=1<<n;
    for(int i=1;i<n;i++){
        int x=getint(),y=getint();
        add(x,y),add(y,x);deg[x]++;deg[y]++;
    }
    for(int i=1;i<maxn;i++){
        cnts[i]=cnts[i>>1]+(i&1);
        memset(a,0,sizeof a),memset(b,0,sizeof b);
        dfs(s,0,i);
        f[i]=(cnts[i]&1?b[s]:mod-b[s]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<maxn;j++)
            if(j>>i-1&1) (f[j]+=f[j^(1<<i-1)])%=mod;
    while(q--){
        int len=getint(),x=0;
        while(len--) x|=1<<getint();
        printf("%lld\n",f[x>>1]);
    } return 0;
}