[CF1093G] Multidimensional Queries

Description

给你 \(n\) 个 \(k\) 维的点 \(a_{1..n}\)，定义两点\((x_1,x_2,\cdots,x_k),(y_1,y_2,\cdots,y_k)\)间的曼哈顿距离为 \(\sum_{i=1}^k|x_i-y_i|\) 。

你需要执行下面两种操作：

• \(1\ i\ b_1\ b_2\cdots b_k\)，表示将 \(a_i\) 修改为 \((b_1,b_2,\cdots,b_k)\) 。
• \(2\ l\ r\)，表示询问 \([l,r]\) 内最大的两点间曼哈顿距离，即任取 \(x,y\in[l,r]\) 得到的所有曼哈顿距离中的最大值。

\(n,m\leq 2\cdot 10^5,k\leq 5\)

Solution

比较套路的一道题吧...然而比赛时确实没有想出来

看见曼哈顿距离就想着把绝对值拆出来，先拿二维的举例子：

\(\begin{align}& |x_1-y_1|+|x_2-y_2|\\&=\max(x_1-y_1,y_1-x_1)+\max(x_2-y_2,y_2-x_2)\\&=\max(x_1-y_1+x_2-y_2,x_1-y_1+y_2-x_2,y_1-x_1+x_2-y_2,y_1-x_1+y_2-x_2)\end{align}\)

如果我们设 \(s[x][0]=x_1+x_2,s[x][1]=-x_1+x_2,s[x][2]=x_1-x_2,s[x][3]=-x_1-x_2\)

那么这个式子就等于\(\max(s[x][0]+s[y][3],s[x][1]+s[y][2],s[x][2]+s[y][1],s[x][3]+s[y][0])\)

跟二进制扯上关系了，再去看一眼数据范围发现 \(k\leq 5\) ，线段树每个节点维护 \(2^k\) 个值即可。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using std::min;
using std::max;
using std::swap;
using std::vector;
typedef double db;
typedef long long ll;
#define pb(A) push_back(A)
#define pii std::pair<int,int>
#define all(A) A.begin(),A.end()
#define mp(A,B) std::make_pair(A,B)
const int K=33;
const int N=2e5+5;
#define ls x<<1
#define rs x<<1|1
#define lss ls,l,mid,ql,qr
#define rss rs,mid+1,r,ql,qr

int n,k,m,maxn,val[N][6];

struct Node{
    int a[K];
    Node(){memset(a,0xcf,sizeof a);}
    friend Node operator+(Node x,Node y){
        Node z;
        for(int i=0;i<=maxn;i++) z.a[i]=max(x.a[i],y.a[i]);
        return z;
    }
}sum[N<<2];

int getint(){
    int X=0,w=0;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))w|=ch=='-',ch=getchar();
    while( isdigit(ch))X=X*10+ch-48,ch=getchar();
    if(w) return -X;return X;
}

void pushup(int x){
    sum[x]=sum[ls]+sum[rs];
}

void build(int x,int l,int r){
    if(l==r){
        for(int i=0;i<=maxn;i++){
            sum[x].a[i]=0;
            for(int j=0;j<k;j++){
                if(i>>j&1) sum[x].a[i]+=val[l][j];
                else sum[x].a[i]-=val[l][j];
            }
        } return;
    } int mid=l+r>>1;
    build(ls,l,mid),build(rs,mid+1,r);
    pushup(x);
}

void modify(int x,int l,int r,int ql){
    if(l==r){
        for(int i=0;i<=maxn;i++){
            sum[x].a[i]=0;
            for(int j=0;j<k;j++){
                if(i>>j&1) sum[x].a[i]+=val[l][j];
                else sum[x].a[i]-=val[l][j];
            }
        } return;
    } int mid=l+r>>1;
    ql<=mid?modify(ls,l,mid,ql):modify(rs,mid+1,r,ql);
    pushup(x);
}

Node query(int x,int l,int r,int ql,int qr){
    if(ql<=l and r<=qr) return sum[x];
    int mid=l+r>>1;Node ans;
    if(ql<=mid) ans=ans+query(lss);
    if(mid<qr)  ans=ans+query(rss);
    return ans;
}

signed main(){
    n=getint(),k=getint();maxn=(1<<k)-1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<k;j++) val[i][j]=getint();
    build(1,1,n);
    m=getint();
    while(m--){
        if(getint()==1){
            int pos=getint();
            for(int i=0;i<k;i++) val[pos][i]=getint();
            modify(1,1,n,pos); 
        } else{
            int l=getint(),r=getint();
            Node ans=query(1,1,n,l,r);
            int ppp=-1e9;
            for(int i=0;i<=maxn;i++) ppp=max(ppp,ans.a[i]+ans.a[i^maxn]);
            printf("%d\n",ppp);
        }
    } return 0;
}