由"2021年辛丑年"引起的一个头脑风暴

抬起头，小米电视上写着"2021年 辛丑年"，那么下一年呢？辛寅年？查了下，是"壬寅年"，天干地支都挪了一位。

我们知道，天干共有10个，分别是甲乙丙丁戊己庚辛壬癸；地支对应生肖，共有十二个，分别是子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥。那么天干地支记年法将二者结合，按道理是120年一个循环，但是实际上，一个循环只有60年，也就是经常听到60年一个甲子。

所有的年号如下图，

那么问题来了，对于\(m*n\)的格子，从左上角开始，往右下方扫，假设第\(i\)年的行号row和列号column满足：\(row = i\%m\)， \(column = i \% n\)。那么整个\(m*n\)格子可能被填满，比如\(6*7\)的格子；也有可能填不满，比如\(12*10\)，只填了一半；也有可能只填一个对角线，如\(10*10\)；

那么填的情况和\(m\)、\(n\)之间存在规律吗？

经过多次画图，得到一个初步的结论：填多少取决于\(m\)、\(n\)的最大公约数，如果\(m\)、\(n\)的最大公约数是\(r\)，那么任何一行，都是每\(r\)个格子会有一个被扫到，任意一列也是这样。这个结论和上面的\(10*12\)、\(6*7\)、\(10*10\)的三种情况也都不违背。

然而这个想法并不是最优的，想太复杂了，直接取最小公倍数除以二者的乘积就行了，12和10的最小公倍数为60，所以经过60年会出现一个循环。

有时候一个人的想法会因为自身的经历、所学而陷入一个死胡同，这个时候多看看别人的想法，通过交流可以得到进一步的提高，所以闭门造车不可取。