正切函数的性质与图像

日期：2022-12-09

正切函数的性质与图像

一、正切函数的性质

根据正切的定义，我们知道， $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ ，现仿照学习正弦函数的性质，探究正切函数的性质

1. 定义域

因为 $\cos x$ 不能为零，所以 $x$ 不能为 $y$ 轴上的角。因此定义域为： $\{x|x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi,k \in \Z\}$

2. 奇偶性

由诱导公式得， $\tan(-x)=-\tan x$

检查定义域： $\{x|x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi,k \in \Z\}$ ，关于原点对称

因此，正切函数是奇函数

3. 周期性

由 $\tan(x + \pi)=\tan(\pi)$ 得， $\tan x$ 的周期为 $\pi$

由反证法可知， $\tan x$ 的最小正周期是 $\pi$

4. 值域

初始时的想法： $\sin x$ 和 $\cos x$ 同号时，若 $\cos x \rightarrow 0$ ，则 $\tan x \rightarrow +\infty$ ；异号时，则 $\tan x \rightarrow - \infty$ 。因此，边界边可以得出。那么值域是否为 $\R$ 呢？

参考课本，发现采用的是三角函数线的方式：

考虑 $x \in [0, \frac{\pi}{2})$ 。角的终边与单位圆的交点为 $B(x_0, y_0)$ ，过点 $B$ 作 $x$ 轴垂线 $BM$ ；过点 $A(1,0)$ 作 $x$ 轴垂线，交角 $x$ 的终边于点 $T$ 。

\tan x = \frac{y_{0}}{x_{0}} = \frac{M B}{O B} = \frac{A T}{O A} = A T

$\tan x = \frac{y_0}{x_0}=\frac{MB}{OB}=\frac{AT}{OA}=AT$

我们可以看到，蓝色的线既为正切的值。我们可以得到如下信息：

在 $x(0 \rightarrow \frac{\pi}{2})$ 时， $\tan x$ 的变化是连续的（ $0\rightarrow + \infty$ ）
在 $x \rightarrow \frac{\pi}{2}$ 时， $\tan x \rightarrow + \infty$ （ $OB$ 趋*于*行 $AT$ ）
当 $x$ 逐渐增大时， $\tan x$ 增速很快（？）

因为 $\tan x$ 为奇函数，所以在时，的变化是（ $- \infty \rightarrow 0$ ）

至此，我们得出结论， $\tan x$ 的值域为 $\R$

5. 单调性

$\forall x_1,x_2 \in [0, \frac{\pi}{2})$ ，且 $x_1 < x_2$ ：

\begin{aligned} \forall x_{1}, x_{2} \in [0, \frac{π}{2}) \\ \frac{\tan x_{1}}{\tan x_{2}} = \frac{\sin x_{1}}{\sin x_{2}} \cdot \frac{\cos x_{2}}{\cos x_{1}} (*) \\ ∵ 0 \leq x_{1} < x_{2} < \frac{π}{2} \\ ∴ 0 \leq \sin x_{1} < \sin x_{2} < 1, 0 < \cos x_{2} < \cos x_{1} \leq 1 \\ ∴ 0 \leq \frac{\sin x_{1}}{\sin x_{2}} < 1, 0 < \frac{\cos x_{2}}{\cos x_{1}} < 1 \\ ∴ 0 \leq (*) < 1, (*) = 0 ⟺ x_{1} = 0 \\ ∴ \tan x_{1} < \tan x_{2} \end{aligned}

$\begin{equation*} \begin{aligned} & \forall x_1,x_2 \in [0, \frac{\pi}{2})\\ & \frac{\tan x_1}{\tan x_2}= \frac{\sin x_1}{\sin x_2} \cdot \frac{\cos x_2}{\cos x_1}(*)\\ & \because 0 \leq x_1 < x_2 < \frac{\pi}{2}\\ & \therefore0 \leq \sin x_1 < \sin x_2<1, 0<\cos x_2 < \cos x_1 \leq 1\\ & \therefore 0 \leq \frac{\sin x_1}{\sin x_2} < 1, 0<\frac{\cos x_2}{\cos x_1} < 1\\ & \therefore 0 \leq (*) < 1,(*)=0 \iff x_1=0 \\ & \therefore \tan x_1 <\tan x_2 \end{aligned} \end{equation*}$

因此， $\tan x$ 在 $[0, \frac{\pi}{2})$ 上单调递增。

由奇函数性质可得，在 $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ 上单增，又由最小正周期为 $\pi$ 可知， $\tan x$ 的单调区间为

(- \frac{π}{2} + k π, \frac{π}{2} + k π), k \in Z

$(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi), k \in \Z$

小结

正切函数的性质	$\tan x$
定义域	$\{x\|x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi,k \in \Z\}$
值域	$\R$
周期性	$T = \pi$
奇偶性	奇函数
单调性	在 $(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi), k \in \Z$ 上单调递增