【模板】线段树

日期：2020-05-31

【模板】线段树

一、【模板】问题

题目链接（洛谷P3372）

1. 题意分析

给定一个数列，现有两种操作：

将区间$[x,y]$内每个数加上$k$；
输出区间$[x,y]$内每个数的和。

2. 暴力分析

修改：暴力对区间内每个数加上$k$，时间复杂度：$O(n)$；
查询：暴力求区间内每个数的和，时间复杂度：$O(n)$。

操作次数为$m$，则总时间复杂度为$O(nm)$。

$\because 1 \le n, m \le 10^5$，

$\therefore O(nm)=O(10^{10})$，故$TLE$。

所以，我们需要一种更好的方法（数据结构）。

二、线段树概念

1. 概念

线段树，一种形如二叉树的数据结构，适用于处理区间操作。线段树的每个结点存储一个区间，如下图所示：

2. 问题实现

1). 建树

输入 #1

对于此题，可以使每个结点存储其管辖区间内每个数的和。以输入样例为例：

2). 修改

无论是在修改还是在查找时，首先应锁定修改/查询区间所包含的线段（具体实现见代码）

假设我们要将$[1,3]$区间内的数都加上$2$，我们应该如何修改呢？

我们绝对不能把$2$加到每一个区间上（即$[1,1],[2,2],[3,3]$），否则就会比暴力还要慢。

我们可以利用懒标记（敲黑板~）来只修改管辖$[1,3]$区间的这条线段，如下图所示：

修改完毕后，需要进行回溯操作（$push \ up $）。要将正确结果（包含子树的修改）返回本身的和，直至树根为止。若令管辖任意区间的这条线段的和为$sum$（$sum$不含懒标记），我们可以得出$[x,y]$（非叶结点）区间的$sum$。

其左子树的答案为：$lans = [x, \frac{x + y}{2}].sum + [x, \frac{x + y}{2}].lazy \times (\frac{x + y}{2} - x + 1)$，即左子树的$sum$与其懒标记乘上元素个数的和。

其右子树的答案为：$rans = [\frac{x + y}{2} + 1, y].sum + [\frac{x + y}{2}+1, y].lazy \times (y-\frac{x + y}{2})$，即右子树的$sum$与其懒标记乘上元素个数的和。

故$[x,y]$的$sum$为：$[x,y].sum = lans + rans$，即其左子树的答案与右子树答案的和。

回溯后如图所示：

假设我们又要将$[3,5]$区间内的数都加上$3$。

那么，因为$[3,5]$的一部分在$[1,3]$范围内，所以这时管辖$[1,3]$区间这条线段的懒标记只有部分还正确，即$[1,2]$区间内的每个数要加$2$，而$[3,3]$区间内的每个数要加$5$（$2+3$）。所以，我们需要将懒标记下放~~（因为懒，所以记不住那么多信息qwq）~~，即$push \ down$操作：

然后，再进行分割线以上的操作，即修改管辖$[3,3]$区间和$[4,5]$区间的这两条线段的懒标记，如下图所示：

回溯：

3). 查询

查询操作和修改操作类似，假设我们要查找$[1,2]$区间内每个数的和，其实就是$[1,2].sum+[1,2].f \times 2$。

假设我们要查找$[1,4]$区间内每个数的和，即查询管辖$[1,3]$区间和$[4,4]$区间的两条线段的答案，$[1,3]$的答案是$19$（显而易见），而求$[4,4]$的答案时，需要先下放$[4,5]$的懒标记：

求出$[4,4]$答案，即$5$。于是最终的答案就是$19 + 5 = 24$。

不要忘记回溯，以方便下次操作：

三、线段树的构建与操作

0. 定义结点

首先，我们要定义线段树的结点（链表实现）。对于此题而言，我们做出如下定义：

struct node{ 
    int a, b; //表示该结点的管辖区间[a, b]
    int *l, *r; //分别表示该结点的左右子树
    long long s, f; //s表示[a,b]区间每个数的和，f表示懒标记
    node(int x, int y, long long ss){ //构造函数
        a = x; b = y; //x、y分别给a、b赋值
        l = r = NULL; //初始化指针
        s = ss; //ss为叶结点赋值
        f = 0; //初始化懒标记
    } 
};
node *root; //根结点

1. 建树

定义结点后，我们需要建起一棵线段树。我们一般递归建树。

void build(node *&root, int x, int y){ 
	root = new node(x, y, a[x]); //创建新的结点
	if (x < y){ //有左右子树（非叶结点）
		int mid = x + y >> 1; //找[x, y]中点
		build(root->l, x, mid); //建左子树
		build(root->r, mid+1, y); //建右子树
		root->s = root->l->s + root->r->s; //回溯：[x,y]区间内每个数的和
	}
}

built(root, 1, n); //建树

2. 懒标记下放和回溯

void push_down(node *p){ //下放懒标记
	p->l->f += p->f; //下放给左子树
	p->r->f += p->f; //下放给右子树
	p->f = 0;
}
void push_up(node *p){ //回溯
	long long s1 = 1ll * p->l->f * (p->l->b - p->l->a + 1) + p->l->s; //计算左子树答案
	long long s2 = 1ll * p->r->f * (p->r->b - p->r->a + 1) + p->r->s; //计算右子树答案
	
	p->s = s1 + s2; //计算自己（p）的和
}

3. 修改

void add(node *p, int a, int b, int c){ 
	if(a <= p->a && p->b <= b){ //查询范围完全覆盖线段范围
		p->f += c; //该线段的懒标记加上c
		return ; //注意返回
	}
	
	if (p->f != 0) push_down(p); //懒标记下放
	
	int mid = p->a + p->b >> 1; //求p[a, b]的中点
	if (a <= mid) add(p->l, a, b, c); //判断是否在左子树范围内
	if (mid < b) add(p->r, a, b, c); //判断是否在右子树范围内
	
	push_up(p); //回溯
}

4. 查询

long long check(node *p, int a, int b){ 
	if (a <= p->a && p->b <= b) return 1ll*p->f * (p->b - p->a + 1) + p->s;//返回p所对应的答案
	
	if (p->f != 0) push_down(p); //懒标记下放
	
	int mid = p->a + p->b >> 1; //求p[a, b]的中点
	long long s1 = 0, s2 = 0;
	if (a <= mid) s1 = check(p->l, a, b); //求在左子树范围内的答案
	if (mid < b) s2 = check(p->r, a, b); //求在右子树范围内的答案
	
	push_up(p); //回溯
	
	return s1 + s2; //返回答案
}

四、完整代码

#include <cstdio>
const int N = 110000;
struct node{ 
	int a, b;
	node *l, *r;
	long long s, f;
	node(int aa, int bb, long long ss){ 
		a = aa; b = bb;
		l = r = NULL;
		s = ss;
		f = 0;
	}
};
node *root;
long long a[N];
int n, m;

void build(node *&root, int x, int y){ 
	root = new node(x, y, a[x]);
	if (x < y){ 
		int mid = x + y >> 1;
		build(root->l, x, mid);
		build(root->r, mid+1, y);
		root->s = root->l->s + root->r->s;
	} 
} 
void push_down(node *p){ 
	p->l->f += p->f;
	p->r->f += p->f; 
	p->f = 0;
} 
void push_up(node *p){ 
	long long s1 = p->l->f * (p->l->b - p->l->a + 1) + p->l->s;
	long long s2 = p->r->f * (p->r->b - p->r->a + 1) + p->r->s;
	
	p->s = s1 + s2;
} 
void add(node *p, int a, int b, long long c){ 
	if(a <= p->a && p->b <= b){ 
		p->f += c;
		return ;
	} 
	
	if (p->f != 0) push_down(p);
	
	int mid = p->a + p->b >> 1;
	if (a <= mid) add(p->l, a, b, c);
	if (mid < b) add(p->r, a, b, c);
	
	push_up(p);
}
long long check(node *p, int a, int b){ 
	if (a <= p->a && p->b <= b) return p->f * (p->b - p->a + 1) + p->s;
	
	if (p->f != 0) push_down(p);
	
	int mid = p->a + p->b >> 1;
	long long s1 = 0, s2 = 0;
	if (a <= mid) s1 = check(p->l, a, b);
	if (mid < b) s2 = check(p->r, a, b);
	
	push_up(p);
	
	return s1 + s2;
} 

int main(){ 
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%lld", a + i);
	
	build(root, 1, n);
	
	for (int i = 1; i <= m; ++i){
		int d, x, y;
		long long c;
		
		scanf("%d", &d);
		
		if (d == 1){ 
			scanf("%d%d%lld", &x, &y, &c);
			add(root, x, y, c);
		} 
		if (d == 2){ 
			scanf("%d%d", &x, &y);
			long long ans = check(root, x, y);
			printf("%lld\n", ans);
		} 
	}
	
	return 0;
}

posted @ 2020-06-06 21:40 _lhy 阅读(147) 评论(2) 编辑收藏举报

会员力量，点亮园子希望

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Young06

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。

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一、【模板】问题

1. 题意分析

2. 暴力分析

二、线段树概念

1. 概念

2. 问题实现

1). 建树

2). 修改

3). 查询

三、线段树的构建与操作

0. 定义结点

1. 建树

2. 懒标记下放和回溯

3. 修改

4. 查询

四、完整代码

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