Asteroids (匈牙利)

二分图的最小覆盖 =   最大匹配

       这是为什么呢？ 让我们来分析一下， 这里有一个很好的模拟过程： 将右边未匹配上的点依次加标记， 然后标记 左边与右边标记的相连的点 ，左边的点一定是最大匹配上的点，不然找到的一定不是最大匹配， 标记最大匹配且左边已经标记了的点 。 最后 取左边标记了的点 和右边未标记的点就组成了最小覆盖。 现在最大匹配的点一定都覆盖了，左边是最大匹配，右边不是的边也覆盖了， 右边是最大匹配，左边不是这种情况也覆盖了。所有情况都覆盖了 ， 而左边标记了的点 由最大匹配对应的右边的点 与右边未标记的（为标记一定是最大匹配上的） 加起来就是最大匹配数。

图的独立集：寻找一个点集，其中任意两点在图中无对应边。

 

二分图的最大独立集 = 图的点数 - 最大匹配数

 

       这个比较好理解， 把最小覆盖的点去了，则图中一条边也没有了。剩下的就是最大独立集。

 

最小路径覆盖问题：用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图的所有顶点。

 

将每个顶点分为两个，分别在X集合和Y集合中，如果存在有向边(a,b)，对应在二分图中有（Xa,Yb）

 

 

最小路径数 = 节点数 - 最大匹配

参考 http://hi.baidu.com/desmoon/blog/item/ce5de032bc6d63f11a4cff16.html

 

 

对于任意图：

|最小边覆盖|+|最大匹配|=|V|

二分图的最大匹配=最小点覆盖数

对于二分图：

以下数值等价.

最大匹配

最小点覆盖

|V|-最大独立集(二分图or有向无环图)

|V|-最小边覆盖数

|V|-最小路径覆盖数(有向无环图)

|V|-最小路径覆盖数/2(无向图)

（上面括号里有有向无环图的，均是将一个点拆成两个点连边匹配）

由于任意图的那几个几乎用不到于是这里只贴二分图的定义

最小点覆盖：理解为点覆盖边，即用最小的点覆盖所有的边。(若一条边的其中一个端点被选用，这条边就被覆盖了)

最大独立集：求一个最大的点集，里面的点不存在任何的边相连。

最小边覆盖：理解为边覆盖点，用最少的边把图中的点全部覆盖。

最小路径覆盖：用最少的路径把图中的所有点覆盖。

 

 

另外：最大独立集与最小覆盖集互补。

 

推广到有权的形式也一样,即最大点权独立集与最小点权覆盖集互补

求最小点权覆盖集可以这样求：

先对图黑白染色，然后向白色的点放X部，黑色的点放Y部。

1、连边[S,i],容量等于i的点权。（对于二分图的X集）

2、连边[i,T],容量等于i的点权。（对于二分图的Y集）

3、对于有边的i和j连边[i,j]（i∈X，j∈Y）,容量为INF

最后得出的最大流就是最小点权覆盖，实际上是最小割与之对应。

 

对于有向无环图：

最大反链=|V|-最大匹配

http://hi.baidu.com/edwardmj/blog/item/b5fc0419bd3661f1af513325.html

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int map[505][505];
int used[505],n;
int link[505];
int findPath(int p)
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(!used[i] && map[p][i])
		{
			used[i]=1;
			if(!link[i] || findPath(link[i]))
			{
				link[i]=p;
				return 1;
			}
		}
	}
	return 0;
}
int hungary()
{
	int ans=0,i;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		memset(used,0,sizeof(used));
		if(findPath(i)) ans++;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	int k,i,u,v;
	memset(link,0,sizeof(link));
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(i=0;i<k;i++)
	{
		scanf("%d%d",&u,&v);
		map[u][v]=1;
	}
	printf("%d\n",hungary());
	return 0;
}