决策树简述
决策树是机器学习中一类非常常见的算法，它是一种分类与回归算法，但以分类为主。它的决策思维非常符合人类正常的决策方式。举一个简单的例子， 比如我们要挑选一个书包，我们就需要做出以下决策：我需要一个男包还是女包？女包。我需要一个双肩背包还是斜挎包？双肩包。我需要一个大包还是小包？小包。我需要一个白色的包还是黑色的包？白色。以上几个选择做完，我就可以将具有{女包、双肩包、小包、白色}这一属性组的包做一个“可以买”的标记。如果我认为包可以不是白色的，也可以是蓝色的，那么{女包、双肩包、小包、蓝色}这样一个属性组也可以标记为“可以买”。其实，针对{性别、包型、大小、颜色}这样一组特征来说，会有很多个不同组合的属性组合。我们可以一一考虑，并分布给每一个分支一个标记，“可以买”或“不会买”。这就是一个简单的决策树决策过程。
在实际问题中，由上面的例子可以看到，在决策过程中，对于特征的选择还是比较重要的。比如一个包，其实不仅仅只有上面几个特征，可能还有千千万万的特征，如{长带还是短带，材质，价位，品牌}等等。那么，对于一个具有多个特征的决策问题，我们应该从哪个特征开始进行分类尼？随机选择显然是不好的，因此，我们定义了信息增益和信息增益比两个指标来指导特征选择。
首先给出信息熵的定义。假设样本集合是D，其中，第k类样本所占的比例为，则D的信息熵为
信息熵表示了样本纯度，信息熵越小，样本纯度越高。其中，N代表了样本类的个数。
基于信息熵，我们可以对某个属性a定义“信息增益”
其中，a属性有V个可能取值，而D中在属性a上取值为的样本记为。
再进一步，基于信息增益我们还可以定义信息增益率
下面我们介绍决策树算法发展过程中出现的几个非常重要的算法。
首先是ID3算法。它的应用到了信息增益来选择特征
ID3算法：
输入：训练数据集D，特征集A，阈值；
输出：决策树T。
算法流程：
1、 若D中所有实例属于同一类C，则T为单节点树，并将C作为该结点的类标记，返回T；
2、 若A=空集，则T为单节点树，并将D中实例数最多的类C作为该结点的类标记，返回T；
3、 否则，计算A中各特征对D的信息增益，选择信息增益最大的特征A1;
4、 对A1的每一个取值，将D相应地分割成若干非空子集
5、 以每一个子集重新作为根节点，重复上述过程，并依次递归进行
这样最终将会形成一个决策树。
接下来介绍著名的C4.5算法。
C4.5算法与上边的ID3算法非常相似，唯一的不同是，ID3算法是用信息增益来选择特征，而C4.5算法使用信息增益率来选择特征。在使用信息增益作为训练数据集特征时会偏向于取值较多的特征，而用信息增益率则避免了这一问题。
其实，想形成一个决策树的过程并不复杂，但是，如果只“生成树”而不进行“剪枝”的话很容易产生过拟合的问题。过拟合问题是机器学习建模中一个比较令人头疼的问题。什么是过拟合尼？就是训练出来的模型“太好了”，很好地适应了训练集数据，但是却根本无法用于其他数据，因为它把训练集中一些本不该考虑的问题也考虑了进来。比如我们在训练一个“什么是水杯”的问题时，我们可以说，可以盛水的是水杯，但我们不能说，有盖子的是水杯，因为可能只是训练集取样不当的原因会使我们得出“有盖子的是水杯”这一结论，但事实上并不是这样的。这就是“过拟合”。为了避免过拟合问题，决策树还应该进行“剪枝处理”。
决策树的剪枝主要有两种策略，分别是“预剪枝”和“后剪枝”。其中，预剪枝是指在决策树生成过程中，对每个结点事先估计，若不能提升泛化性能，则停止划分当前结点。预剪枝降低了过拟合的风险，也减少了决策树的训练时间，但是它是一种“贪心算法”很有可能会造成欠拟合。后剪枝是先从训练集生成一颗完整决策树，然后自底向上进行考察并逐渐剪枝。后剪枝欠拟合风险很小，也可以有效避免过拟合，但是时间开销相对较大。
以上介绍的决策树都用于分类环境，那么，决策树是否可以进行回归？答案是可以。决策树中有极其著名的CART算法，全名是分类和回归树。它使用基尼系数进行属性划分。
CART生成算法
CART生成算法与C4.5算法相类似，它与C4.5算法的主要区别是使用基尼系数进行属性选择。
CART剪枝算法
输入：CART算法生成的决策树Tq;
输出：剪枝后的最优决策树Ta.
1、 k=0,T=Tq
2、a等于正无穷
3、 自下而上地对各内部结点t计算C(T)，有
这里是以t为根节点的子树，C()表示了预测误差，如基尼系数等。
4、 自上而下访问内部结点t，如果有g(t)=a,进行剪枝，并对叶节点t以多数表决法决定其类，得到树T
5、 设k=k+1,
6、 如果T不是由根节点单独构成的树，回到步骤4
7、 采用交叉验证法在子树序列中选取最优子树
参考资料来自：《统计学习方法》 李航 《机器学习》 周志华
