题目 ：X个相同的苹果放入Y个篮子，
（1）篮子可以为空 ，篮子不同。 放法有C(X+Y-1,Y-1 );//
(2)篮子不可以为空，篮子不同.放法有C(X-1,Y-1) //插挡板法
分析有了这个组合公式，参考我的 求组合数 程序即可解决问题。
(3)篮子可以为空，篮子相同。按上面程序求解 递推公式dp[i][j]=dp[j-i][i]+dp[j][i-1]
#if 0 /* m个相同的苹果放入n个相同的篮子，篮子可以为空。 下面两种方法求解，动态规划和递归。但都须知： dp[0][j]=0;含义为:j（j>0）个苹果放入0个篮子，没有地方放，放法为0. dp[i][0]=1;0个苹果放入i个篮子，每个篮子都为空，放法为1. dp[0][0]=1;当然，0个苹果放到0个篮子放法为1.即0！=1； 还有 dp[i][j],i>j时，即篮子数大于苹果数是dp[i][j]=dp[j][j],含义为 把2个苹果放到5个篮子的放法和把2个苹果放到2个篮子放法数相同。
*/ int dp[100][100];//全局，默认初始化为0 int n,m; int main() { m=5;n=3; int i,j; //全局变量默认初始化为0可以无需初始化了。 // for (j=0;j<m;j++)//苹果 // { // dp[0][j]=0; // } //可以再拆分，也无需初始化。 // for (i=0;i<n;i++)//篮子 // { // dp[i][0]=1; // } dp[0][0] = 1; for(i = 1; i <= n; ++i)//篮子 for( j =0; j <= m; ++j)//苹果 { if(j>=i) { dp[i][j] = dp[i][j-i] + dp[i-1][j]; cout<<"dp["<<i<<"]["<<j<<"] = dp["<<i<<"]["<<j-i<<"] + dp["<<i-1<<"]["<<j<<"]"; cout<<":"<<dp[i][j]<<" = "<<dp[i][j-i]<<" + "<<dp[i-1][j]; } else { dp[i][j] = dp[j][j]; cout<<"dp["<<i<<"]["<<j<<"] = dp["<<j<<"]["<<j<<"]"; cout<<":"<<dp[i][j]<<" = "<<dp[j][j]; } cout<<endl; } cout<<dp[n][m]<<endl; //} return 0; } #endif //递归求解
#if 0 int fun(int n,int m)
{
if (n==0&&m!=0)//篮子为空
return 0;
else if (m==0)
{
return 1;
}
else if (m>=n)
{
return fun(n,m-n)+fun(n-1,m);
}
else
return fun(m,m);
} int main() { int n=3,m=7; cout<<fun(n,m)<<endl; } #endif
测试数据： 3 7 count=8
3 5 count=5
（4）篮子不可以为空，篮子相同。没有递推公式：但是dp[X][Y]=dp[X-Y][Y], 计算dp[X-Y][Y]可以用（3）中递推公式。
下面求解（4）的情况
//篮子不可以为空，即m>=n; int count=0; int fun(int n,int m) { if (n==0&&m!=0)//篮子为空 count=0; else if (m==0) { count=1; } else if (m>=n) { count=fun(n,m-n)+fun(n-1,m); } else count=fun(m,m); return count; } int main() { int n=3,m=7; fun(n,m-n); cout<<count<<endl; }
//测试数据： 3,5 count=2;
3,7 count=4;
数学模型为正整数的分拆
详见组合数学书第二章
1、C(n,r) 从n个不同的球中取出r个,放进r个相同的 盒子中,不许空盒,有多少种放法.
2、P(n,r) 从n个不同的球中取出r个,放进r个不相同 的盒子中,不许空盒,有多少种放法.
3、 r个相同的球放进n个不同的盒子中,允许 空盒,有多少种放法. 正整数的有序拆分
4 、n个无区别 的球放进r个无区别的盒子，允许空盒。正整数的无序拆分.
书上公式：
n拆分为m个无序的数：
1 m=1或n=1
Q(n,m)= Q(n,n) m>n
1+Q(n,n-1) m=n
Q(n,m-1)+Q(n-m,m)
