集合的整数表示与子集枚举

集合{0,1,…,n-1}的子集S可以编码成整数：f(S)=∑2ⁱ，像这样表示之后，一些集合运算可以对应地写成如下方式：

①空集Ø：……………………………………………0

②只含有1个元素i的集合{i}…………………………1<<i

③含有全部n个元素的集合…………………………(1<<n)-1

④判断第i+1个元素i是否属于集合S………………if (S>>i&1)

⑤向集合中加入第i+1个元素i（S∪{i}）…………S|1<<i

⑥从集合中取出第i+1个元素（S\{i}）……………S&~(1<<i)

⑦集合S和集合T的并集S∪T………………………S|T

⑧集合S和集合T的交集S∩T………………………S&T
此外，想要将集合{0,1,…,n-1}的所有自己枚举出来的话，可以这样写：

for (int S=0; S<1<<n; S++)
{
    //对子集的处理
}

接下来，介绍如何枚举某个集合sup的子集。这里sup是一个二进制码。

(sub-1) & sup

(sub-1)&sup会忽略sup中的0而从sub中减去"1"，最终sub可以将sup所有的子集按照降序生成出来。为什么不能用加？因为(sub+1)&sup虽然是sup的子集，但很可能依旧是sub，没有任何改变，而用减就不会出现这样的情况。

int sub=sup;
do
{
  //对子集进行处理  
  sub=(sub-1)⊃
} while (sub != sup);//处理完0之后，会有-1&sup=sup

 

最后，介绍如何枚举{0,1,…,n-1}所包含的所有大小为k的子集。通过位运算，按照字典序升序地枚举出所有满足条件地二进制码，先上代码：

int comb = (1<<k)-1;
while (comb< 1<<n)
{
    //这里进行针对组合的处理
    int x=comb&(-comb), y=comb+x;
    comb=((comb&~y)/x>>1)|y;
}

按照字典序的话，最小的子集是(1<<k)-1,所有用它作为初始值，下面就要求出comb之后一个二进制码了，方法如下：
①求出最低位的1开始的连续的1的区间（0101110→0001110）
②将这一区间全部变为0，并将区间左侧的那个0变为1（0101110→0110000）
③将第①步里取出的区间右移，直到剩下的1的个数减少了1个（0001110→0000011）
④将第②步和第③步的结果按位取或（0110000|0000011→0110011）
对于非零的整数，x&(-x)的值就是将其最低位的1独立出来的值，即lowbit

除上述例子外，还可以利用位运算完成满足其它条件的集合的枚举，例如不包含相邻元素的集合等