LDA主题模型的学习

上个学期到现在陆陆续续研究了一下主题模型（topic model）这个东东。何谓“主题”呢？望文生义就知道是什么意思了，就是诸如一篇文章、一段话、一个句子所表达的中心思想。不过从统计模型的角度来说， 我们是用一个特定的词频分布来刻画主题的，并认为一篇文章、一段话、一个句子是从一个概率模型中生成的。

D. M. Blei在2003年（准确地说应该是2002年）提出的LDA（Latent Dirichlet Allocation）模型（翻译成中文就是——潜在狄利克雷分配模型）让主题模型火了起来， 今年3月份我居然还发现了一个专门的LDA的R软件包（7月份有更新），可见主题模型方兴未艾呀。主题模型是一种语言模型，是对自然语言进行建模，这个在信息检索中很有用。

LDA主题模型涉及到贝叶斯理论、Dirichlet分布、多项分布、图模型、变分推断、EM算法、Gibbs抽样等知识，不是很好懂，LDA那篇30 页的文章我看了四、五遍才基本弄明白是咋回事。那篇文章其实有点老了，但是很经典，从它衍生出来的文章现在已经有n多n多了。主题模型其实也不只是LDA 了，LDA之前也有主题模型，它是之前的一个突破，它之后也有很多对它进行改进的主题模型。需要注意的是，LDA也是有名的Linear Discriminant Analysis（线性判别分析）的缩写。

LDA是一种非监督机器学习技术，可以用来识别大规模文档集（document collection）或语料库（corpus）中潜藏的主题信息。它采用了词袋（bag of words）的方法，这种方法将每一篇文档视为一个词频向量，从而将文本信息转化为了易于建模的数字信息。但是词袋方法没有考虑词与词之间的顺序，这简化了问题的复杂性，同时也为模型的改进提供了契机。每一篇文档代表了一些主题所构成的一个概率分布，而每一个主题又代表了很多单词所构成的一个概率分布。由于 Dirichlet分布随机向量各分量间的弱相关性（之所以还有点“相关”，是因为各分量之和必须为1），使得我们假想的潜在主题之间也几乎是不相关的，这与很多实际问题并不相符，从而造成了LDA的又一个遗留问题。

对于语料库中的每篇文档，LDA定义了如下生成过程（generative process）：

1. 对每一篇文档，从主题分布中抽取一个主题；

2. 从上述被抽到的主题所对应的单词分布中抽取一个单词；

3. 重复上述过程直至遍历文档中的每一个单词。

更形式化一点说，语料库中的每一篇文档与 T（通过反复试验等方法事先给定）个主题的一个多项分布相对应，将该多项分布记为 θ。每个主题又与词汇表（vocabulary）中的  V个单词的一个多项分布相对应，将这个多项分布记为 ϕ。上述词汇表是由语料库中所有文档中的所有互异单词组成，但实际建模的时候要剔除一些停用词（stopword），还要进行一些词干化（stemming）处理等。θ 和ϕ分别有一个带有超参数（hyperparameter）α和β的Dirichlet先验分布。对于一篇文档d中的每一个单词，我们从该文档所对应的多项分布θ中抽取一个主题z，然后我们再从主题z所对应的多项分布ϕ中抽取一个单词w。将这个过程重复Nd次，就产生了文档d，这里的Nd是文档d的单词总数。这个生成过程可以用如下的图模型表示：

 
这个图模型表示法也称作“盘子表示法”（plate notation）。图中的阴影圆圈表示可观测变量（observed variable），非阴影圆圈表示潜在变量（latent variable），箭头表示两变量间的条件依赖性（conditional dependency），方框表示重复抽样，重复次数在方框的右下角。

该模型有两个参数需要推断（infer）：一个是“文档-主题”分布θ，另外是T个“主题-单词”分布ϕ。通过学习（learn）这两个参数，我们可以知道文档作者感兴趣的主题，以及每篇文档所涵盖的主题比例等。推断方法主要有LDA模型作者提出的变分-EM算法，还有现在常用的Gibbs抽样法。

LDA模型现在已经成为了主题建模中的一个标准。如前所述，LDA模型自从诞生之后有了蓬勃的扩展，特别是在社会网络和社会媒体研究领域最为常见。

LDA整体流程

先定义一些字母的含义：

• 文档集合D，topic集合T
• D中每个文档d看作一个单词序列< w1,w2,...,wn >，wi表示第i个单词，设d有n个单词。（LDA里面称之为word bag，实际上每个单词的出现位置对LDA算法无影响）
• D中涉及的所有不同单词组成一个大集合VOCABULARY（简称VOC）

LDA以文档集合D作为输入（会有切词，去停用词，取词干等常见的预处理，略去不表），希望训练出的两个结果向量（设聚成k个Topic，VOC中共包含m个词）：

• 对每个D中的文档d，对应到不同topic的概率θd < pt1,..., ptk >，其中，pti表示d对应T中第i个topic的概率。计算方法是直观的，pti=nti/n，其中nti表示d中对应第i个topic的词的数目，n是d中所有词的总数。
• 对每个T中的topic t，生成不同单词的概率φt < pw1,..., pwm >，其中，pwi表示t生成VOC中第i个单词的概率。计算方法同样很直观，pwi=Nwi/N，其中Nwi表示对应到topic t的VOC中第i个单词的数目，N表示所有对应到topic t的单词总数。

LDA的核心公式如下：

p(w|d) = p(w|t)*p(t|d)

直观的看这个公式，就是以Topic作为中间层，可以通过当前的θd和φt给出了文档d中出现单词w的概率。其中p(t|d)利用θd计算得到，p(w|t)利用φt计算得到。
实际上，利用当前的θd和φt，我们可以为一个文档中的一个单词计算它对应任意一个Topic时的p(w|d)，然后根据这些结果来更新这个词应该对应的topic。然后，如果这个更新改变了这个单词所对应的Topic，就会反过来影响θd和φt。

LDA学习过程
LDA算法开始时，先随机地给θd和φt赋值（对所有的d和t）。然后上述过程不断重复，最终收敛到的结果就是LDA的输出。再详细说一下这个迭代的学习过程：
1）针对一个特定的文档ds中的第i单词wi，如果令该单词对应的topic为tj，可以把上述公式改写为：
pj(wi|ds) = p(wi|tj)*p(tj|ds)
先不管这个值怎么计算（可以先理解成直接从θds和φtj中取对应的项。实际没这么简单，但对理解整个LDA流程没什么影响，后文再说）。
2）现在我们可以枚举T中的topic，得到所有的pj(wi|ds)，其中j取值1~k。然后可以根据这些概率值结果为ds中的第i个单词wi选择一个topic。最简单的想法是取令pj(wi|ds)最大的tj（注意，这个式子里只有j是变量），即
argmax[j]pj(wi|ds)
当然这只是一种方法（好像还不怎么常用），实际上这里怎么选择t在学术界有很多方法，我还没有好好去研究。
3）然后，如果ds中的第i个单词wi在这里选择了一个与原先不同的topic，就会对θd和φt有影响了（根据前面提到过的这两个向量的计算公式可以很容易知道）。它们的影响又会反过来影响对上面提到的p(w|d)的计算。对D中所有的d中的所有w进行一次p(w|d)的计算并重新选择topic看作一次迭代。这样进行n次循环迭代之后，就会收敛到LDA所需要的结果了。