勒让德定理
在 \(n!\) 的唯一分解中，对于质数 \(p\)，记 \(L_p(n!)\) 为素数 \(p\) 的最高指数，这里的 \(L_p(n!)\) 为勒让德函数。
勒让德定理：
\[L_p(n!) = \sum_{k \ge 1}\bigg\lfloor\frac{n}{p^k}\bigg\rfloor
\]
证明：
记 \(N_p(n!, ~ k)\) 表示 \([1, ~ n!]\) 中唯一分解后素数 \(p\) 的幂为 \(k\) 的数个数。
易知 \(L_p(n!) = N_p(n!, ~ 1) + 2N_p(n!, ~ 2) + ... + rN_p(n!, ~ r)\)。
而对于 \([1, n]\) 中能被 \(p\) 整除的数有 \(\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor\) 个，即 \(N_p(n!, ~ 1) + N_p(n!, ~ 2) + ... + N_p(n!, ~ r)\) 个。
对于 \([1, n]\) 中能被 \(p^k\) 整除的数有 \(\left\lfloor\frac{n}{p^k}\right\rfloor\) 个，即 \(N_p(n!, ~ k) + N_p(n!, ~ k + 1) + ... + N_p(n!, ~ r)\) 个。
综上可知：
\[\begin{aligned}
L_p(n!) &= N_p(n!, ~ 1) + 2N_p(n!, ~ 2) + ... + rN_p(n!, ~ r)\\
&= \sum\limits_{k \ge 1}\bigg\lfloor\frac{n}{p^k}\bigg\rfloor
\end{aligned}
\]
