The 2024 ICPC Asia East Continent Online Contest (I) G.The Median of the Median of the Median

Link: The Median of the Median of the Median

考虑二分答案，对中位数进行二分，每次去判断是否比中位数大即可。

我们钦定了一个中位数 $x$，对于 $\{a\}$ 数组，若 $a_i \ge x$，则令 $a_i = 1$，否则 $a_i = 0$，这样有一个好处，我们只关心 $1$ 和 $0$ 的数量，就可以知道中位数是否比 $x$ 大。

如果 $\{a\}$ 中 $1$ 的个数多于 $0$ 的个数，说明中位数大于等于 $x$，否则中位数小于 $x$。

考虑对所有的 $\{b_{i,j}\}_{l\le{i}\le{j}\le{r}}$ 求值，不妨枚举左端点 $l$，求出一个以 $l$ 为左端点的 $\{b_{i,j}\}_{l\le{i}\le{j}\le{r}}$ 的中位数，我们通过前缀和可以求出有多少个数是大于 $x$ 的。

设 $cnt[i][j]$ 表示以 $i$ 为左端点，所有 $i \le k \le j$ 的 $b_{i, k}$ 大于等于 $x$ 的个数，$pre[0/1]$ 表示 $a[i \sim j]$ 中 $0/1$ 的数量，容易发现：

$$cnt[i][j] = cnt[i][j - 1] + [pre[1] > pre[0]]$$

考虑如何计算 $\{c_{l, r}\}_{1\le{l}\le{r}\le{n}}$，我们枚举 $r$，对所有 $1 \le l \le r$ 求和，因为我们计算的 $cnt[i][j]$ 是以左端点固定的，因此计算一对 $(l, r)$ 时，对 $l$ 求 $cnt[i][r]$ 的后缀和即可，不过因为 $cnt[i][j]$ 表示的是一个段，因此，$0$ 的个数变化 $j - i + 1 - cnt[i][j]$，$1$ 的个数变化 $cnt[i][j]$，对答案贡献 $1$ 当且仅当每个段 $1$ 的个数大于 $0$ 的个数。

当 $1$ 的个数大于 $0$ 时，说明中位数大于等于 $x$，二分答案即可。

时间复杂度 $O(n^2\log{|a|})$。

复制#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

void solve() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> a[i];
    auto check = [&](int x) -> int {
        vector<int> b(n + 1);
        vector<vector<int>> cnt(n + 1, vector<int>(n + 1));
        for (int i = 1; i <= n; i ++ ) b[i] = (a[i] >= x);
        for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
            vector<int> pre(2);
            for (int j = i; j <= n; j ++ ) {
                pre[b[j]] ++ ;
                cnt[i][j] = cnt[i][j - 1] + (pre[1] > pre[0]);
            }
        }
        vector<int> sum(2);
        for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
            vector<int> pre(2);
            for (int j = i; j; j -- ) {
                pre[1] += cnt[j][i];
                pre[0] += i - j + 1 - cnt[j][i];
                sum[pre[1] > pre[0]] ++ ;
            }
        }
        return sum[1] > sum[0];
    };
    int l = 1, r = 1e9;
    while (l < r) {
        int mid = (l + r + 1) >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    cout << r << "\n";
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0), cout.tie(0);
    solve();
    return 0;
}

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本文作者：Yip.Chip
本文链接：https://www.cnblogs.com/YipChipqwq/p/18538718.html
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