P9142 [THUPC 2023 初赛] 欺诈游戏 题解
题面
这个游戏名叫《走私游戏》。游戏规则大概是这样的：一名玩家扮演走私者，一名玩家扮演检察官。走私者可以将 \(x\) 日元（\(x\) 为 \([0,n]\) 内的整数，由走私者决定）秘密放入箱子中，而检查官需要猜测箱子中的金额。假设检察官猜了 \(y\)（\(y\) 也必须是整数）。如果 \(x=y\)，则走私失败，走私者一分钱也拿不到。如果 \(x>y\)，则走私成功，走私者可以从检查官那里拿走 \(x\) 日元。如果 \(x<y\)，则走私失败，但是由于冤枉检察官需要赔付给走私者 \(y/2\) 日元。游戏分有限回合进行。双方轮流做走私者和检察官。
可以证明，最优情况下每个回合走私者会采用同一种策略，检察官也会采用同一种策略。小 E 想知道在一个回合中，双方的最优策略分别是什么。
题解
混合策略纳什均衡（MNE）模型。
双方当前策略期望 \(u_1(a_1, a_{-1}), u_2(a_2, a_{-2})\) 相等，不存在一方策略调整后能更优。
构建出收益矩阵：
| \(\text{x\y}\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(\ldots\) | \(n - 1\) | \(n\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(0\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | \(1\) | \(\ldots\) | \(\frac{n - 1}{2}\) | \(\frac{n}{2}\) |
| \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(\ldots\) | \(\frac{n - 1}{2}\) | \(\frac{n}{2}\) |
| \(2\) | \(2\) | \(2\) | \(0\) | \(\ldots\) | \(\frac{n - 1}{2}\) | \(\frac{n}{2}\) |
| \(\ldots\) | \(\ldots\) | \(\ldots\) | \(\ldots\) | \(\ldots\) | \(\ldots\) | \(\ldots\) |
| \(n - 1\) | \(n - 1\) | \(n - 1\) | \(n - 1\) | \(\ldots\) | \(0\) | \(\frac{n}{2}\) |
| \(n\) | \(n\) | \(n\) | \(n\) | \(\ldots\) | \(n\) | \(0\) |
设玩家一选择 \(x = i\) 策略的概率为 \(p_i\)，玩家二选择 \(y = i\) 策略的概率为 \(q_i\)，对于任意策略下期望是列出：
\[E_p(i) = (i - 1)\sum_{j = 0}^{i - 1}p_j + \sum_{j = i + 1}^{n}jp_j
\]
\[E_q(i) = i\sum_{j = 0}^{i - 1}q_j + \sum_{j = i + 1}^{n}\frac{j}{2}q_j
\]
由于任意策略期望相等，对相邻两项作差有：
\[ip_i = \frac{1}{2}\sum_{j = 0}^{i - 1}p_j + \frac{i - 1}{2}p_{i - 1}
\]
\[\frac{i}{2}q_i = \sum_{j = 0}^{i - 1}q_j + (i - 1)q_{i - 1}
\]
化简可得：
\[p_i = \frac{\sum\limits_{j = 0}^{i - 1}p_j + (i - 1)p_{i - 1}}{2i}
\]
\[q_i = \frac{2\sum\limits_{j = 0}^{i - 1}q_j + 2(i - 1)q_{i - 1}}{i}
\]
设 \(p_0\) 具有系数 \(1\)，递推算出所有概率的系数即可。
参考代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 4e5 + 10, mod = 998244353;
int n;
ll p[N], q[N], inv[N];
ll ksm(ll a, ll k)
{
ll res = 1;
while (k)
{
if (k & 1) res = res * a % mod;
k >>= 1;
a = a * a % mod;
}
return res;
}
int main()
{
cin >> n;
inv[1] = 1, p[0] = q[0] = 1;
for (ll i = 2; i <= max(2, n); i ++ ) inv[i] = mod - mod / i * inv[mod % i] % mod;
ll sump = 1, sumq = 1;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
p[i] = (sump + (i - 1) * p[i - 1]) % mod * inv[2] % mod * inv[i] % mod;
q[i] = (sumq + (i - 1) * q[i - 1]) % mod * 2 * inv[i] % mod;
(sump += p[i]) %= mod, (sumq += q[i]) %= mod;
}
sump = ksm(sump, mod - 2), sumq = ksm(sumq, mod - 2);
for (int i = 0; i <= n; i ++ ) cout << (p[i] * sump % mod) << " \n"[i == n];
for (int i = 0; i <= n; i ++ ) cout << (q[i] * sumq % mod) << " \n"[i == n];
return 0;
}
