CF2045G - X Aura 题解

CF2045G - X Aura

题面

ICPC 山可以表示为由 \(R\) 行(编号从 \(1\) 到 \(R\) )和 \(C\) 列(编号从 \(1\) 到 \(C\) )组成的网格。位于第 \(r\) 行和第 \(c\) 列的单元格表示为 \((r, c)\) ，高度为 \(H_{r, c}\) 。如果两个单元格共享一条边，那么它们就是相邻的。形式上， \((r, c)\)$$ 与 \((r-1, c)\) 、 \((r+1, c)\) 、 \((r, c-1)\) 和 \((r, c+1)\) (如果存在的话)相邻。

您只能在相邻单元格之间移动，每次移动都会受到惩罚。在正奇数 \(X\) 的光环下，从高度为 \(h_1\) 的单元格移动到高度为 \(h_2\) 的单元格会受到 \((h_1 - h_2)^X\) 的惩罚。注意，惩罚值可以是负数。

您希望回答 \(Q\) 个独立的问题。在每个情境中，您从起始单元格 \((R_s, C_s)\) 开始，希望以最小的总罚分到达终点单元格 \((R_f, C_f)\) 。在某些情况下，总罚分可能会变得非常小，这种情况称为无效。请找出从起始单元格移动到目的地单元格的最小总罚分，或确定该方案是否无效。

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题解

又是神题，首先考虑什么时候不合法，必然是存在一个环上的权不为 \(0\)，如果环权为正，可以倒着走，这样就可以变得无穷小，所以我们需要考虑什么时候不存在环的权非零。

这个问题可以转化为所有 \(2 \times 2\) 的环的权都为零，不妨考虑全部 \(2 \times 2\) 的环权值都为 \(0\)，两个有交的环有一条公共边，这条公共边可以由其中一个环的 \(3\) 条边表示，如此反复，可以发现所有的 \(2 \times 2\) 环可以构成任意的环，所以我们只需验证所有的 \(2 \times 2\) 环权值为 \(0\) 即可。

考虑求解答案，由于所有的环权值为 \(0\)，那就说明任意两点的距离一定为定值，因此如果要求 \(d(x_1, y_1, x_2, y_2)\)，就相当于求 \(d(1, 1, x_2, y_2) - d(1, 1, x_1, y_1)\) 的值，这个 \(d\) 是可以预处理的，因此本题可以在 \(O(NM)\) 的复杂度解决。

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1010;
int n, m, x, q;
int a[N][N];
ll dist[N][N];

int calc(int x1, int y1, int x2, int y2) {return pow(a[x1][y1] - a[x2][y2], x);}

int check()
{
    int pd = 0;
    for (int i = 1; i < n; i ++ )
        for (int j = 1; j < m; j ++ )
            if (calc(i, j, i + 1, j) + calc(i + 1, j, i + 1, j + 1) + 
                calc(i + 1, j + 1, i, j + 1) + calc(i, j + 1, i, j))
                pd = 1;
    if (!pd) return 0;
    for (int i = 1; i <= q; i ++ ) cout << "INVALID\n";
    return 1;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    cin >> n >> m >> x;
    char c;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
            cin >> c, a[i][j] = c - '0';
    cin >> q;
    if (check()) return 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
            if (j == 1 && i != 1) dist[i][j] = dist[i - 1][j] + calc(i - 1, j, i, j);
            else dist[i][j] = dist[i][j - 1] + calc(i, j - 1, i, j);
    while (q -- )
    {
        int s1, s2, t1, t2;
        cin >> s1 >> s2 >> t1 >> t2;
        cout << dist[t1][t2] - dist[s1][s2] << "\n";
    }
    return 0;
}