CF2027D The Endspeaker (Hard Version) 题解

题面
题解

题面

给你一个长度为 $n <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi></math>$ 的数组 $a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math>$ 和一个长度为 $m <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>m</mi></math>$ 的数组 $b <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>b</mi></math>$ (所有 $1 \leq i < m <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn><mo>\leq</mo><mi>i</mi><mo><</mo><mi>m</mi></math>$ 满足 $b i > b i + 1 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>b</mi><mi>i</mi></msub><mo>></mo><msub><mi>b</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub></math>$ )。最初， $k <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k</mi></math>$ 的值是 $1 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn></math>$ 。您的目标是通过重复执行这两种操作中的一种，使数组 $a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math>$ 为空：

$1 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn></math>$ - 如果 $k <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k</mi></math>$ 的值小于 $m <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>m</mi></math>$ ，并且数组 $a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math>$ 不是空的，那么可以将 $k <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k</mi></math>$ 的值增加 $1 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn></math>$ 。这不会产生任何费用。
$2 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn></math>$ - 从数组 $a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math>$ 中移除一个非空的前缀，使得其总和不超过 $b k <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>b</mi><mi>k</mi></msub></math>$ 。需要花费 $m - k <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>m</mi><mo>-</mo><mi>k</mi></math>$ 。

你需要最小化操作的总成本，使数组 $a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math>$ 为空。如果无法通过任何操作序列实现，则输出 $- 1 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>-</mo><mn>1</mn></math>$ 。否则，输出操作的最小总成本，以及产生这个最小成本的操作序列的数目，取模为 $109 + 7 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mn>10</mn><mn>9</mn></msup><mo>+</mo><mn>7</mn></math>$ 。

如果在任何一步中选择了不同的操作类型，或在任何一步中删除的前缀大小不同，则认为两个操作序列是不同的。

题解

D1(Easy Version)

题目只要求求出最小总成本，所以考虑 $d p <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>d</mi><mi>p</mi></math>$ ，我们根据 $b i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>b</mi><mi>i</mi></msub></math>$ 的单调性，容易发现选择时对 $b i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>b</mi><mi>i</mi></msub></math>$ 按顺序对成本进行松弛即可，唯一需要确定的是状态的来源。

考虑什么时候转移是合法的，必然是一个区间和小于 $b i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>b</mi><mi>i</mi></msub></math>$ 时合法，如果一个区间和小于 $b i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>b</mi><mi>i</mi></msub></math>$ ，有一个较小的区间被这个区间所包含，那么一定是不优的，因此我们尽可能的将区间扩大，找到最大满足区间和小于 $b i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>b</mi><mi>i</mi></msub></math>$ 的区间，可以枚举左端点或右端点做双指针转移，对每个 $b i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>b</mi><mi>i</mi></msub></math>$ 转移一次即可。

D2(Hard Version)

在 D1 的条件下，我们需要求出转移的方案数，那么对于我们转移的方式应该枚举右端点，这样才能确定每一次转移后的方案数。

对于一个段 $l <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>l</mi></math>$ 转移到 $r <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>r</mi></math>$ ，若对于某个 $b i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>b</mi><mi>i</mi></msub></math>$ 能使 $l <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>l</mi></math>$ 转移到 $r <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>r</mi></math>$ ：

当 $d p r - d p l > m - i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>d</mi><msub><mi>p</mi><mi>r</mi></msub><mo>-</mo><mi>d</mi><msub><mi>p</mi><mi>l</mi></msub><mo>></mo><mi>m</mi><mo>-</mo><mi>i</mi></math>$ 时，将 $d p l <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>d</mi><msub><mi>p</mi><mi>l</mi></msub></math>$ 的方案数赋值到 $d p r <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>d</mi><msub><mi>p</mi><mi>r</mi></msub></math>$ 上。
当 $d p r - d p l < m - i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>d</mi><msub><mi>p</mi><mi>r</mi></msub><mo>-</mo><mi>d</mi><msub><mi>p</mi><mi>l</mi></msub><mo><</mo><mi>m</mi><mo>-</mo><mi>i</mi></math>$ 时，我们跳过这样的 $l <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>l</mi></math>$ 。
当 $d p r - d p l = m - i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>d</mi><msub><mi>p</mi><mi>r</mi></msub><mo>-</mo><mi>d</mi><msub><mi>p</mi><mi>l</mi></msub><mo>=</mo><mi>m</mi><mo>-</mo><mi>i</mi></math>$ 时，我们将连续的 $l <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>l</mi></math>$ 方案数求和，转移到 $d p r <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>d</mi><msub><mi>p</mi><mi>r</mi></msub></math>$ 上。

因此，我们可以记录一个 $m a x x <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>m</mi><mi>a</mi><mi>x</mi><mi>x</mi></math>$ 代表当前区间段 $d p l = d p m a x x <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>d</mi><msub><mi>p</mi><mi>l</mi></msub><mo>=</mo><mi>d</mi><msub><mi>p</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>m</mi><mi>a</mi><mi>x</mi><mi>x</mi></mrow></msub></math>$ 可以转移到 $d p r <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>d</mi><msub><mi>p</mi><mi>r</mi></msub></math>$ 的区间段的右端点，如果正在考虑的 $l <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>l</mi></math>$ 小于 $m a x x <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>m</mi><mi>a</mi><mi>x</mi><mi>x</mi></math>$ ，那么可以对这个区间段内满足 $d p r - d p l = m - i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>d</mi><msub><mi>p</mi><mi>r</mi></msub><mo>-</mo><mi>d</mi><msub><mi>p</mi><mi>l</mi></msub><mo>=</mo><mi>m</mi><mo>-</mo><mi>i</mi></math>$ 的部分求和，可以证明 $l <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>l</mi></math>$ 是单调递增的，如果 $l <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>l</mi></math>$ 大于 $m a x x <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>m</mi><mi>a</mi><mi>x</mi><mi>x</mi></math>$ ，更新 $m a x x <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>m</mi><mi>a</mi><mi>x</mi><mi>x</mi></math>$ ，方案数替换为下一个合法的区间，令 $m a x x = l <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>m</mi><mi>a</mi><mi>x</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>l</mi></math>$ 继续转移。

容易发现，上述操作和双指针无异，时间复杂度 $O (n m) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mi>m</mi><mo stretchy="false">)</mo></math>$ 。

参考代码

复制#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 3e5 + 10, mod = 1e9 + 7;
int n, m;
ll a[N], b[N];

void solve()
{
    cin >> n >> m;
    vector<ll> pre(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> a[i], pre[i] = pre[i - 1] + a[i];
    for (int i = 1; i <= m; i ++ ) cin >> b[i];
    vector<ll> dp(n + 1, 1e18), f(n + 1);
    dp[0] = 0, f[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= m; i ++ )
    {
        ll sum = 0;
        for (int l = 0, r = 1, maxx = 0; r <= n; r ++ )
        {
            while (pre[r] - pre[l] > b[i]) (sum -= f[l]) %= mod, l ++ ;
            if (maxx < l) maxx = l, sum = 0;
            while (maxx < r && dp[maxx] == dp[l]) (sum += f[maxx]) %= mod, maxx ++ ;
            if (l < r)
            {
                if (dp[r] > dp[l] + m - i) dp[r] = dp[l] + m - i, f[r] = sum;
                else if (dp[r] == dp[l] + m - i) (f[r] += sum) %= mod;
            }
        }
    }
    if (dp[n] == 1e18) cout << "-1\n";
    else cout << dp[n] << ' ' << (f[n] + mod) % mod << '\n';
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0), cout.tie(0);
    int T = 1;
    cin >> T;
    while (T -- ) solve();
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：Yip.Chip
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posted @ 2024-10-27 15:53 YipChip 阅读(23) 评论(0) 编辑收藏举报

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发表于 2024-10-27 15:53阅读次数：23评论次数：0

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