ARC188B - Symmetric Painting 题解

很启发的题目，考虑每次绘画的点。

Alice 绘画 $-x$ 点。
Bob 绘画 $2K - x$ 点。

按顺序绘画 $0, 2K, -2K, 4K, -4K, 6K, -6K, \ldots$ ，由于模 $n$ 的完全剩余系在互质的乘法中封闭，也就是说 $N$ 与 $2K$ 互质时可以取遍所有数。

再考虑 $\gcd(N, 2K) \ne 1$ 时，令 $\gcd(N, 2K) = d$ 。

由于 $\gcd\left(\frac{N}{d}, \frac{2K}{d}\right) = 1$ ，因此其在模 $\frac{N}{d}$ 中取遍所有数，所以剩余系分为了 $d$ 个封闭的集合，一个集合向另一个集合转移的充要条件是乘数与模数不互质。

而乘数始终为 $2$ ，因此 $\gcd(N, 2K) > 2$ 时，必定存在第三个集合无法到达，在经过第二个集合后，会变为 $0$ 。

考虑 $\gcd(N, 2K) = 2$ 时什么时候可达，需要 $2K\lfloor\frac{N}{2}\rfloor \neq \lambda N$ ，即 $(N - (N \bmod 2))K \neq \lambda N$ ，即 $N \bmod 2 \neq 0$ 。

综上可以得到题目答案。

参考代码

复制#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

void solve()
{
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    if (__gcd(n, k << 1) > 2) return cout << "No\n", void();
    if (__gcd(n, k << 1) == 1) return cout << "Yes\n", void();
    if ((n >> 1) % 2) cout << "Yes\n";
    else cout << "No\n";
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0), cout.tie(0);
    int T;
    cin >> T;
    while (T -- ) solve();
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：Yip.Chip
本文链接：https://www.cnblogs.com/YipChipqwq/p/-/ARC188B.html
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