SCUT - 485 - 质因数计数 - 原根
给定a和n，求有多少个质数p，满足n是使得a^n=1 mod p成立的最小正整数。
翻译：求有多少个质数p，使得a模p的阶delta_m(a)是n
先验证 a^n=1 mod p 成立
那么假如还有更小的m使得 a^m=1 mod p 成立，则这个p不合要求
由阶的性质有delta_m(a)|n，故只需要检查n的所有因子就可以了。
但其实不需要检查所有因子，只需要检查n的所有质因子。（从板子上面可以看出来，但是为什么）
即 a^(p_i) = 1 mod p 是否成立，假如恒不成立，则n是a模p的阶，其中p_i是n的每种质因子。
证明如下：很显然的，原本我们要检查n的所有因子才能确定阶，但是有一个更好的办法。
假如还有更小的m使得 a^m=1 mod p 成立，那么m的倍数km也一定满足 a^(km)=1 mod p 成立，那么从n中只去除一个质因子p_i，假如这个t=(n/p_i)有 a^t=1 mod p ，则可能存在更小的m使得 a^m=1 mod p 成立。否则假如 a^t != 1 mod p ，则t的所有因子也都不需要检查了。
这样就只需要检查log次。
1e9都直接暴力，快速幂还有个logn，真的服了没话讲。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int q, n;
const int MAXN = 1e7 + 5;
int p[MAXN], ptop;
int minp[MAXN];
bool np[MAXN];
void sieve(int n) {
np[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; i++) {
if(!np[i]) {
p[++ptop] = i;
minp[i] = i;
}
for(int j = 1, t; j <= ptop && (t = i * p[j]) <= n; j++) {
minp[t] = p[j];
np[t] = 1;
if(i % p[j] == 0)
break;
}
}
}
int qpow(ll x, int n, int p) {
ll res = 1;
while(n) {
if(n & 1)
res = res * x % p;
x = x * x % p;
n >>= 1;
}
return res;
}
int ans[MAXN], atop;
int fac[60], ftop;
void GetFactor(int n) {
ftop = 0;
while(n != 1) {
int cp = minp[n];
fac[++ftop] = cp;
while(n % cp == 0)
n /= cp;
}
}
int check(int n, int P) {
if(qpow(q, n, P) != 1)
return 0;
for(int i = 1; i <= ftop; ++i) {
int t = n / fac[i];
if(qpow(q, t, P) == 1)
return 0;
}
return 1;
}
int main() {
#ifdef Yinku
freopen("Yinku.in", "r", stdin);
#endif // Yinku
sieve(MAXN);
while(~scanf("%d%d", &q, &n)) {
GetFactor(n);
atop = 0;
for(int i = 1; i <= ptop; ++i) {
if(check(n, p[i]))
ans[++atop] = p[i];
}
printf("%d\n", atop);
for(int i = 1; i <= atop; ++i)
printf("%d%c", ans[i], " \n"[i == atop]);
}
return 0;
}
直接上BSGS的话，假如这样的p有10000个就比较麻烦。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int q, n;
const int MAXN = 1e7 + 5;
int p[MAXN], ptop;
bool np[MAXN];
void sieve(int n) {
np[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; i++) {
if(!np[i])
p[++ptop] = i;
for(int j = 1, t; j <= ptop && (t = i * p[j]) <= n; j++) {
np[t] = 1;
if(i % p[j] == 0)
break;
}
}
}
int qpow(ll x, int n, int p) {
ll res = 1;
while(n) {
if(n & 1)
res = res * x % p;
x = x * x % p;
n >>= 1;
}
return res;
}
unordered_map<int,int> M;
int bsgs(int a,int b,int n,int k=1,int t=0){
/*if(b==1)
return 0;*/
M.clear();
int m=ceil(sqrt(n));
ll s=b;
for(int i=0;i<m;++i,s=s*a%n){
M[s]=i;
}
s=k;
k=qpow(a,m,n);
for(ll i=1;i<=m;++i){
s=s*k%n;
if(M.count(s))
return i*m-M[s]+t;
}
return -1;
}
int ans[MAXN], atop;
int check(int n, int p) {
if(qpow(q, n, p) != 1)
return 0;
int res=bsgs(q,1,p);
if(res==-1||res==n)
return 1;
return 0;
}
int main() {
#ifdef Yinku
freopen("Yinku.in", "r", stdin);
#endif // Yinku
sieve(MAXN);
while(~scanf("%d%d", &q, &n)) {
atop = 0;
for(int i = 1; i <= ptop; ++i) {
if(check(n, p[i]))
ans[++atop] = p[i];
}
printf("%d\n", atop);
for(int i = 1; i <= atop; ++i)
printf("%d%c", ans[i], " \n"[i == atop]);
}
return 0;
}
