模板 - 扩展大步小步算法
我又来开新坑了，先是不扩展的。
在 \(O(\sqrt p)\) 复杂度内，求最小的 \(x\) 在 \([0,p)\) 使得，已知 \(a,b,p\) 的同余式 \(a^{x} \equiv b\: mod\: p\) 成立其中 \(p\) 是质数。
首先可以把 \(x\) 分解为 \(A \lceil \sqrt p \rceil - B\) ，其中 \(A,B\) 都在 $ \lceil \sqrt p \rceil $内
\(a^{A \lceil \sqrt p \rceil - B} \equiv b\: mod\: p\)
然后同乘
\(a^{A \lceil \sqrt p \rceil} \equiv ba^{B}\: mod\: p\)
枚举 $ B $ 保存右边的值，然后枚举 \(A\) ，计算左边的值是否可以从右边得出。kuangbin的板子有问题，贴一个其他人的模板。
吸氧之后跑得飞快！
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int gcd(int a,int b){
if(!b)
return a;
else{
while(int i=a%b){
a=b;
b=i;
}
return b;
}
}
inline int qpow(ll a,int n,int m) {
//这个快速幂保证p不是1，少模一次是一次
ll s=1;
while(n) {
if(n&1)
s=s*a%m;
a=a*a%m;
n>>=1;
}
return s;
}
unordered_map<int,int> M;
//要求a,n互质 a^x=b mod n .k,t是留给exbsgs调用的
int bsgs(int a,int b,int n,int k=1,int t=0) {
if(b==1)
return 0;
M.clear();
int m=ceil(sqrt(n));
ll s=b;//BS
for(int i=0; i<m; i++,s=s*a%n)
M[s]=i;
s=k;//GS
k=qpow(a,m,n);
for(ll i=1; i<=m; i++) {
s=s*k%n;
if(M.count(s))
return i*m-M[s]+t; //貌似这样就保证找到的是最小解了，不知道为什么
}
return -1;
}
//a^x=b mod n
int exbsgs(int a,int b,int n) {
if(b==1) {
return 0;
}
int d=gcd(a,n),k=1,t=0;
while(d^1) {
if(b%d) {
return -1;
}
++t;
b/=d;
n/=d;
k=(ll)k*(a/d)%n;
if(b==k) {
return t;
}
d=gcd(a,n);
}
return bsgs(a,b,n,k,t);
}
int main() {
int a,b,n;
while(1) {
scanf("%d%d%d",&a,&n,&b);
if(!a&&!n&&!b)
break;
a%=n;
b%=n;
int ans=exbsgs(a,b,n);
if(ans==-1)
puts("No Solution");
else
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
例如求 \(x^a = b \: mod \: n\)
原根的引入
当 \(gcd(a,p)==1\) ，由欧拉定理，存在正整数 \(d\) 使得 \(a^d \equiv 1 \: mod \: p\) ，例如 \(d=\varphi(p)\)。
阶
\(gcd(a,p)==1\) ，阶为 \(a\) 在模 \(p\) 意义下的最小的正整数 \(d\) 。
原根
\(a\) 在模 \(p\) 意义下的阶 \(d=\varphi(p)\) 时，\(a\) 为模 \(p\) 的（其中一个）原根 。 \(p\) 共有 \(\varphi(\varphi(p))\) 个原根。
当且仅当 \(n=1,2,4,p^e,2p^e\) ，\(p\) 是质数且 \(p>2\) ， \(e\) 是正整数时有原根。当原根存在时，其分布是比较均匀的，可以暴力找到原根。
找到原根 \(g\) 后，一定找到一个指数 \(i\) ，使得 \(x=g^i\)， \(0 \leq x,i < n\) 。
明显数字比较小的时候你可以瞎搞，只讨论是质数的情况。
\(x^a = b \: mod \: p\)
取得 \(p\) 的一个原根 \(g\)，用BSGS一定可以找到 \(b\) 对应的原根的指数 \(j\) ，即 \(g^j= b\: mod \: p\)。
设 \(x\) 可以表示为 \(g^i= x\: mod \: p\) ，那么原式变为 \((g^i)^a= g^j \: mod \: p\) 。
用欧拉定理拿下来：
\(ia= j \: mod \: p-1\)
就是求线性同余方程 \(ax= b \: mod \: n\) 的解，用exgcd就可以求出来一个特解 \(i\) 。
然后根据特解构造出 \([0,p)\) 内的所有解 \(i\)，然后快速幂复原出 \(x=g^i \: mod \: p\)
当只要求一次原根时，筛法显得多余。而确定了 \(p\) 是质数时，不仅原根不需要求欧拉函数，还不需要扩展大步小步。
所以先满足代码短：
\(p\) 是质数的求法
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int gcd(int a,int b) {
if(!b)
return a;
else {
while(int i=a%b) {
a=b;
b=i;
}
return b;
}
}
inline ll qpow(ll x,int n,int mod) {
//保证mod已经不会是1了
ll ret=1;
while(n) {
if(n&1)
ret=ret*x%mod;
x=x*x%mod;
n>>=1;
}
return ret;
}
unordered_map<int,int> M;
//要求a,n互质 a^x=b mod n .k,t是留给exbsgs调用的
int BSGS(int a,int b,int n,int k=1,int t=0) {
if(b==1)
return 0;
M.clear();
int m=ceil(sqrt(n));
//BS
ll s=b;
for(int i=0; i<m; i++) {
M[s]=i;
s=s*a%n;
}
//GS
s=k;
k=qpow(a,m,n);
for(ll i=1; i<=m; i++) {
s=s*k%n;
if(M.count(s))
return i*m-M[s]+t; //貌似这样就保证找到的是最小解了，不知道为什么
}
return -1;
}
//对p-1质因数分解，从0开始
int factor[60],ftop;
void Get_Factors(int x) {
ftop=0;
int tmp=x;
for(int i=2;i*i<=tmp;++i) {
if(tmp%i==0) {
factor[ftop]=i;
while(tmp%i==0)
tmp/=i;
ftop++;
}
}
if(tmp!=1) {
factor[ftop]=tmp;
}
}
int Get_Primitive_Root(int p) {
if(p==2)
return 1;
Get_Factors(p-1);
for(int g=2; g<p; g++) {
//逐个枚举他是不是原根
int i;
for(i=0; i<ftop; i++)
if(qpow(g,p-1/factor[i],p)==1)
break;
if(i==ftop)
return g;
}
//传了不对的p
exit(-1);
}
int ex_gcd(int a,int b,int& x,int& y) {
if(!b) {
x=1,y=0;
return a;
}
int d=ex_gcd(b,a%b,x,y);
int temp=x;
x=y;
y=temp-a/b*y;
return d;
}
//解线性同余方程: ax+by=c
bool _LCE(int a, int b, int c, int &x, int &y) {
int x0,y0;
int d=ex_gcd(a,b,x0,y0);
if(c%d!=0)
return 0;
int k=c/d;
x=x0*k;
y=y0*k;
return 1;
}
//解线性同余方程 ax = b mod n
//这个是和 ax + ny = b等价，注意变量
bool LCE(int a,int b,int n,int &x,int &t) {
int x0,y0;
if(_LCE(a,n,b,x0,y0)) {
t=n/gcd(a,n);
x=(x0%t+t)%t;
return 1;
} else
return 0;
}
//这个上界是瞎猜的，看来蛮准的
int ans[100005],atop=0;
//求解所有的x满足x^a = b mod p
void solve(int a,int b,int p) {
if(b==0){
ans[atop++]=0;
return;
}
int g=Get_Primitive_Root(p);
int j=BSGS(g,b,p);
int i,t;
LCE(a,j,p-1,i,t);
ll g1=qpow(g,i,p);
int dg=qpow(g,t,p);
for(int k=0;k<=p-1;k++) {
ans[atop++]=g1;
g1=g1*dg%p;
}
sort(ans,ans+atop);
atop=unique(ans,ans+atop)-ans;
return;
}
int main() {
#ifdef Yinku
freopen("Yinku.in","r",stdin);
#endif // Yinku
int p,a,b;
scanf("%d%d%d",&p,&a,&b);
solve(a,b,p);
printf("%d\n",atop);
for(int i=0; i<atop; i++)
printf("%d\n",ans[i]);
return 0;
}
不是质数的情况，把原根的 \(p-1\) 还原为 \(\varphi(p)\) ，然后用exBSGS就可以了。
阶：
定义：设m>1，a,m互质，则使得a^r=1 mod m成立的最小的正数r，称为a模m的阶，记为 delta_m(a)。
定理：若a^n=1 mod m，则delta_m(a)|n
原根：
定义：a是整数，m是正整数，若a模m的阶delta_m(a)=phi(m)，则a是m的“一个”原根。
性质：模m有原根的充要条件：m=2,4,pa,2*pa，其中p是奇质数。
性质：记原根为g，则g^i=1 mod m (1<=g<p,0<=i<m）的结果两两不同。
简单说 g^i=1 mod m 当，且仅当i==m-1时成立。
定理：如果a模m有原根，那么一共有phi(phi(m))个原根。
求模m素数的方法：对phi(m)质因数分解，分解出的每个不同质因子都拿phi(m)去除以，得到的记为x，若g^x != 1 mod m 对所有的x成立，则g是模m的“一个”原根。
