模板 - 数论函数
前64个自然数的表：
| n | mu(n) | Smu(n) | phi(n) | Sphi(n) | d(n) | Sd(n) | sigma(n) | Ssigma(n) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 |
| 3 | -1 | -1 | 2 | 4 | 2 | 5 | 4 | 8 |
| 4 | 0 | -1 | 2 | 6 | 3 | 8 | 7 | 15 |
| 5 | -1 | -2 | 4 | 10 | 2 | 10 | 6 | 21 |
| 6 | 1 | -1 | 2 | 12 | 4 | 14 | 12 | 33 |
| 7 | -1 | -2 | 6 | 18 | 2 | 16 | 8 | 41 |
| 8 | 0 | -2 | 4 | 22 | 4 | 20 | 15 | 56 |
| 9 | 0 | -2 | 6 | 28 | 3 | 23 | 13 | 69 |
| 10 | 1 | -1 | 4 | 32 | 4 | 27 | 18 | 87 |
| 11 | -1 | -2 | 10 | 42 | 2 | 29 | 12 | 99 |
| 12 | 0 | -2 | 4 | 46 | 6 | 35 | 28 | 127 |
| 13 | -1 | -3 | 12 | 58 | 2 | 37 | 14 | 141 |
| 14 | 1 | -2 | 6 | 64 | 4 | 41 | 24 | 165 |
| 15 | 1 | -1 | 8 | 72 | 4 | 45 | 24 | 189 |
| 16 | 0 | -1 | 8 | 80 | 5 | 50 | 31 | 220 |
| 17 | -1 | -2 | 16 | 96 | 2 | 52 | 18 | 238 |
| 18 | 0 | -2 | 6 | 102 | 6 | 58 | 39 | 277 |
| 19 | -1 | -3 | 18 | 120 | 2 | 60 | 20 | 297 |
| 20 | 0 | -3 | 8 | 128 | 6 | 66 | 42 | 339 |
| 21 | 1 | -2 | 12 | 140 | 4 | 70 | 32 | 371 |
| 22 | 1 | -1 | 10 | 150 | 4 | 74 | 36 | 407 |
| 23 | -1 | -2 | 22 | 172 | 2 | 76 | 24 | 431 |
| 24 | 0 | -2 | 8 | 180 | 8 | 84 | 60 | 491 |
| 25 | 0 | -2 | 20 | 200 | 3 | 87 | 31 | 522 |
| 26 | 1 | -1 | 12 | 212 | 4 | 91 | 42 | 564 |
| 27 | 0 | -1 | 18 | 230 | 4 | 95 | 40 | 604 |
| 28 | 0 | -1 | 12 | 242 | 6 | 101 | 56 | 660 |
| 29 | -1 | -2 | 28 | 270 | 2 | 103 | 30 | 690 |
| 30 | -1 | -3 | 8 | 278 | 8 | 111 | 72 | 762 |
| 31 | -1 | -4 | 30 | 308 | 2 | 113 | 32 | 794 |
| 32 | 0 | -4 | 16 | 324 | 6 | 119 | 63 | 857 |
| 33 | 1 | -3 | 20 | 344 | 4 | 123 | 48 | 905 |
| 34 | 1 | -2 | 16 | 360 | 4 | 127 | 54 | 959 |
| 35 | 1 | -1 | 24 | 384 | 4 | 131 | 48 | 1007 |
| 36 | 0 | -1 | 12 | 396 | 9 | 140 | 91 | 1098 |
| 37 | -1 | -2 | 36 | 432 | 2 | 142 | 38 | 1136 |
| 38 | 1 | -1 | 18 | 450 | 4 | 146 | 60 | 1196 |
| 39 | 1 | 0 | 24 | 474 | 4 | 150 | 56 | 1252 |
| 40 | 0 | 0 | 16 | 490 | 8 | 158 | 90 | 1342 |
| 41 | -1 | -1 | 40 | 530 | 2 | 160 | 42 | 1384 |
| 42 | -1 | -2 | 12 | 542 | 8 | 168 | 96 | 1480 |
| 43 | -1 | -3 | 42 | 584 | 2 | 170 | 44 | 1524 |
| 44 | 0 | -3 | 20 | 604 | 6 | 176 | 84 | 1608 |
| 45 | 0 | -3 | 24 | 628 | 6 | 182 | 78 | 1686 |
| 46 | 1 | -2 | 22 | 650 | 4 | 186 | 72 | 1758 |
| 47 | -1 | -3 | 46 | 696 | 2 | 188 | 48 | 1806 |
| 48 | 0 | -3 | 16 | 712 | 10 | 198 | 124 | 1930 |
| 49 | 0 | -3 | 42 | 754 | 3 | 201 | 57 | 1987 |
| 50 | 0 | -3 | 20 | 774 | 6 | 207 | 93 | 2080 |
| 51 | 1 | -2 | 32 | 806 | 4 | 211 | 72 | 2152 |
| 52 | 0 | -2 | 24 | 830 | 6 | 217 | 98 | 2250 |
| 53 | -1 | -3 | 52 | 882 | 2 | 219 | 54 | 2304 |
| 54 | 0 | -3 | 18 | 900 | 8 | 227 | 120 | 2424 |
| 55 | 1 | -2 | 40 | 940 | 4 | 231 | 72 | 2496 |
| 56 | 0 | -2 | 24 | 964 | 8 | 239 | 120 | 2616 |
| 57 | 1 | -1 | 36 | 1000 | 4 | 243 | 80 | 2696 |
| 58 | 1 | 0 | 28 | 1028 | 4 | 247 | 90 | 2786 |
| 59 | -1 | -1 | 58 | 1086 | 2 | 249 | 60 | 2846 |
| 60 | 0 | -1 | 16 | 1102 | 12 | 261 | 168 | 3014 |
| 61 | -1 | -2 | 60 | 1162 | 2 | 263 | 62 | 3076 |
| 62 | 1 | -1 | 30 | 1192 | 4 | 267 | 96 | 3172 |
| 63 | 0 | -1 | 36 | 1228 | 6 | 273 | 104 | 3276 |
| 64 | 0 | -1 | 32 | 1260 | 7 | 280 | 127 | 3403 |
线性筛与杜教筛：
const int mod=1e9+7;
const int MAXN=5e6;
ll sphi[MAXN+1];
int pri[MAXN+1];
int &pritop=pri[0];
void sieve(int n=MAXN) {
sphi[1]=1;
for(int i=2; i<=n; i++) {
if(!pri[i]) {
pri[++pritop]=i;
sphi[i]=i-1;
}
for(int j=1; j<=pritop; j++) {
int &p=pri[j];
int t=i*p;
if(t>n)
break;
pri[t]=1;
if(i%p) {
sphi[t]=sphi[i]*sphi[p];
if(sphi[t]>=mod)
sphi[t]%=mod;
} else {
sphi[t]=sphi[i]*p;
if(sphi[t]>=mod)
sphi[t]%=mod;
break;
}
}
}
for(int i=2; i<=n; i++) {
sphi[i]+=sphi[i-1];
if(sphi[i]>=mod)
sphi[i]%=mod;
}
}
unordered_map<ll,ll> Sphi;
inline ll Phi(ll n) {
if(n<=MAXN)
return sphi[n];
if(Sphi.count(n))
return Sphi[n];
ll ret=s1(n);
for(ll l=2,r; l<=n; l=r+1) {
ll t=n/l;
r=n/t;
ll tmp=r-(l-1);
tmp*=Phi(t);
if(tmp>=mod)
tmp%=mod;
ret-=tmp;
if(ret<0)
ret+=mod;
}
return Sphi[n]=ret;
}
莫比乌斯函数
单个莫比乌斯函数：
inline int mu(int n){
int res=1;
for(int i=1; i<=pritop&&pri[i]*pri[i]<=n; i++) {
if(n%pri[i]==0) {
res=-res;
n/=pri[i];
if(n%pri[i]==0)
return 0;
}
if(n==1)
return res;
}
if(n!=1)
res=-res;
return res;
}
线性筛与杜教筛：
const int MAXN=5e6;
ll smu[MAXN+1];
int pri[MAXN+1];
int &pritop=pri[0];
void sieve(int n=MAXN) {
smu[1]=1;
for(int i=2; i<=n; i++) {
if(!pri[i]) {
pri[++pritop]=i;
smu[i]=-1;
}
for(int j=1; j<=pritop; j++) {
int &p=pri[j];
int t=i*p;
if(t>n)
break;
pri[t]=1;
if(i%p) {
smu[t]=-smu[i];
} else {
smu[t]=0;
break;
}
}
}
for(int i=2; i<=n; i++) {
smu[i]+=smu[i-1];
}
}
unordered_map<ll,ll> Smu;
inline ll Mu(ll n) {
if(n<=MAXN)
return smu[n];
if(Smu.count(n))
return Smu[n];
ll ret=1;
for(ll l=2,r; l<=n; l=r+1) {
ll t=n/l;
r=n/t;
ll tmp=r-(l-1);
tmp*=Mu(t);
ret-=tmp;
}
return Smu[n]=ret;
}
因数个数函数\(d(n)\)
线性筛：
前缀和：
一次分块就可以求出来，比杜教筛还快，要什么杜教筛？
ll d(int n){
ll ret=0;
for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){
r=n/(n/l);
ret+=(r-l+1)*(n/l);
}
return ret;
}
除数函数\(\sigma _{x}(n)\)
积性。
n的所有因子的x次方和。
\(\sigma _{0}(n)\) 0阶的除数函数就是 \(d(n)\)
其他遇到过的奇怪组合
\(id(n)*d(n)\)
积性，但是有比杜教筛更快的办法：
只讨论前缀和，类似\(d(n)\)，每次贡献的式子带个公差罢了。
int sum(int a1,int an,int n){
return (a1+an)*n/2;
}
ll id_d(int n){
ll ret=0;
for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){
r=n/(n/l);
ret+=sum(1,n/l,n/l)*sum(l,r,r-l+1);
}
return ret;
}
\(id(n)*\varphi(n)\)
显然积性，可以用杜教筛。
卷一个 \(id\) 用杜教筛，一般有几个 \(id\) 就卷几个 \(id\) 。
记\(f(n)=id(n)*\varphi(n)\)
记\(S(n)=\sum\limits_{i=1}^{n} f(i)\)
要求的就是\(S(n)\)
假如我们找到一个\(g\)，使得\((f*g)(n)\)（\(f\)与\(g\)的狄利克雷卷积）的前缀和很好求，且\(g(n)\)也很好求，那么可以用杜教筛。
显然：
\((f*g)(n)=\sum\limits_{d|n} f(d)g(\frac{n}{d})=\sum\limits_{d|n} d\varphi(d)g(\frac{n}{d})\)
若令\(g(n)=n\)，即\(g=id\)，有：
\((f*g)(n)=n\sum\limits_{d|n} \varphi(d)\)
后面那个：
\(\sum\limits_{d|n} \varphi(d)=n\)
所以：
\((f*g)(n)=n^2\)
由杜教筛公式：
\(g(1)S(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}(f*g)(i) - \sum \limits _{i=2}^{n} g(i) S(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor)\)
由于某些特殊的原因，好像\(g(1)\)总是\(1\)，代进去可以得到：
\(S(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}i^2 - \sum \limits _{i=2}^{n} i S(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor)\)
后面那个套一个分块就可以了。
可能会常用的公式：
\(s_1(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}i=\frac{1}{2}n(n+1)\)
\(s_2(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}i^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)
\(s_3(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}i^3=\frac{1}{4}n^2(n+1)^2\)
常见积性函数：
φ(n) －欧拉函数
μ(n) －莫比乌斯函数，关于非平方数的质因子数目
gcd(n,k) －最大公因子，当k固定的情况
d(n) －n的正因子数目
σ(n) －n的所有正因子之和
σk(n) － 因子函数，n的所有正因子的k次幂之和，当中k可为任何复数。
1(n) －不变的函数，定义为 1(n) = 1 （完全积性）
Id(n) －单位函数，定义为 Id(n) = n（完全积性）
Idk(n) －幂函数，对于任何复数、实数k，定义为Idk(n) = n^k （完全积性）
ε(n) －定义为：若n = 1，ε(n)=1；若 n > 1，ε(n)=0。别称为“对于狄利克雷卷积的乘法单位”（完全积性）
λ(n) －刘维尔函数，关于能整除n的质因子的数目
γ(n)，定义为γ(n)=(-1)^ω(n)，在此加性函数ω(n)是不同能整除n的质数的数目
幂函数是积性的，那么？
