模板 - 数论 - 扩展欧拉定理

欧拉定理：

$a^{\varphi(m)}=1\ mod\ m$ 当 $a,m$ 互质的时，

所以 $a^{c}=a^{c\ mod\ \varphi(m)}\ mod\ m$ 

可以用来化简幂次，比如求 $7^{222}\ mod\ 10$ 因为7和10互质，求出 $\varphi(10)=4$ 则 $7^4\ mod\ 10 =1$ ，提公因式 $7^{4*55+2}=1^{55}*7^2 =9=mod 10$

扩展欧拉定理：

推广到不互质的情况：

$a^{c}=a^{c\ mod\ \varphi(m)}$ 当 $gcd(a,m)=1$ 时

$a^{c}=a^{c}$ 当 $gcd(a,m)\neq1,c<\varphi(m)$ 时

$a^{c}=a^{c\ mod\ \varphi(m) + \varphi(m)}$ 当 $gcd(a,m)\neq1,c\geq\phi(m)$ 时

 

求欧拉函数：

筛法：

int phi[3000001];
void phi_table(){
    //memset(phi,0,sizeof(phi));
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=3000000;i++){
        if(!phi[i])
        for(int j=i;j<=3000000;j+=i){
            if(!phi[j])
                phi[j]=j;
            phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
        }
    }
}

单个phi

ll phi(ll n) {
    ll ans = n;
    for(int i = 2; i*i <= n; i++) {
        if(n%i==0) {
            ans-=ans/i;
            while(n%i==0)
                n/=i;
        }
    }
    if(n > 1)   ans-=ans/n;
    return ans;
}

同时筛出质数表和欧拉函数表：

const int MAXN=10000000;
bool check[MAXN+10];
int phi[MAXN+10];
int prime[MAXN+10];
int tot;
void phi_and_prime_table(int N){
    memset(check,0,sizeof(check));
    phi[1]=1;
    tot=0;
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(!check[i]){
            prime[tot++]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=0;j<tot;j++){
            if(i*prime[j]>N)
                break;
            check[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            else{
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
            }
        }
    }
}

 

 

代码：使用扩展欧拉定理求大指数取模，注意减少c%phi(m)的次数，最后再取一次模（等于取不取都行）

注意用scanf忽略掉行末的换行符再getchar（这道题好像不可以fgets我猜他是没有'\n'结尾）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long

ll p;
//快速幂 x^n%p
ll qpow(ll x,ll n) {
    ll res=1;
    while(n) {
        if(n&1)
            res=res*x%p;
        x=x*x%p;
        n>>=1;
    }
    return res%p;
    //要记得模p，否则输入一个2的幂次模1就挂了
}

ll phi(ll n) {
    ll ans = n;
    for(int i = 2; i*i <= n; i++) {
        if(n%i==0) {
            ans-=ans/i;
            while(n%i==0)
                n/=i;
        }
    }
    if(n > 1)   ans-=ans/n;
    return ans;
}

ll a,m,c;

char sc[20000100];

int main() {
    scanf("%lld%lld ",&a,&m);
    ll phi_m=euler_phi(m);
    char sc=getchar();
    while(isdigit(sc)){
        c*=10;
        c+=(sc-'0');
        if(c>=10000000){
            c%=phi_m;
            c+=phi_m;
        }
        sc=getchar();
    }
    p=m;
    if(c>phi_m){
        c%=phi_m;
        c+=phi_m;
    }
    printf("%lld\n",qpow(a,c));
}