模板 - 数学 - 扩展中国剩余定理/扩展卢卡斯定理
中国剩余定理：
求同余方程组 $x=c_i\ mod\ m_i m_i$ 两两互质的最小非负整数解。
结论：
$M=\prod\limits_{i=1}^{k}m_k$
$x=\sum\limits_{i=1}^{k}c_i*\frac{M}{m_i}*inv(\frac{M}{m_i},m_i)\ \%\ M$
using namespace std; #define LL long long LL k,l,r,n,M,x,y,Min,ans,m[15],c[15]; void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y) { if (!b) x=1,y=0; else exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x; } int main() { scanf("%d%lld%lld",&k,&l,&r); M=1LL; for (int i=1;i<=k;++i) { scanf("%lld%lld",&m[i],&c[i]); M*=m[i]; } for (int i=1;i<=k;++i) { LL a=M/m[i],b=m[i]; exgcd(a,b,x,y); x=(x%b+b)%b; if (!x) x+=b; n+=c[i]*a*x; } n%=M; if (!n) n+=M; if (r>=n) ans=(r-n)/M+1; if (l>=n) ans=ans-((l-n)/M+1); if ((l-n)%M==0) ++ans; if (ans) { if (l<=n) Min=n; else Min=n+((l-n)/M+1)*M; } printf("%lld\n%lld\n",ans,Min); }
扩展中国剩余定理：
$m_i$ 可以不两两互质。
结论：每两个方程：
$x=c_1\ mod\ m_1$
$x=c_2\ mod\ m_2$
合并成一个方程，有解的条件为 $(c_2-c_1)\%gcd(m_1,m_2)==0$
合并后
$m=\frac{m_1m_2}{gcd(m_1,m_2}=lcm(m_1,m_2)$
$c=inv(\frac{m_1}{gcd(m_1,m_2},\frac{m_2}{gcd(m_1,m_2})*(\frac{c2-c1}{gcd(m_1,m_2)})\%\frac{m_2}{gcd(m_1,m_2}*m_1+c_1$
最终合并成 $x=c\ mod\ m$ ， $x=c\%m$ 即为原问题的一个解。
using namespace std; #define LL long long #define N 1005 int k; LL c[N],m[N],c1,c2,m1,m2,t; bool flag; LL gcd(LL a,LL b) { if (!b) return a; else return gcd(b,a%b); } void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y) { if (!b) x=1LL,y=0LL; else exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x; } LL inv(LL a,LL b) { LL x=0LL,y=0LL; exgcd(a,b,x,y); x=(x%b+b)%b; if (!x) x+=b; return x; } int main() { while (~scanf("%d",&k)) { flag=true; for (int i=1;i<=k;++i) scanf("%I64d%I64d",&m[i],&c[i]); for (int i=2;i<=k;++i) { m1=m[i-1],m2=m[i],c1=c[i-1],c2=c[i]; t=gcd(m1,m2); if ((c2-c1)%t!=0) {flag=false;break;} m[i]=m1*m2/t; c[i]=inv(m1/t,m2/t)*((c2-c1)/t)%(m2/t)*m1+c1; c[i]=(c[i]%m[i]+m[i])%m[i]; } if (!flag) puts("-1"); else printf("%I64d\n",c[k]); } }
卢卡斯定理/Lucas定理
$n=\sum\limits_{i=0}^{k}n_i*p^i$
$m=\sum\limits_{i=0}^{k}m_i*p^i$
$C_n^m\%p=\prod\limits_{i=0}^{k}C_{n_i}^{m_i}$
p是质数。
using namespace std; #define LL long long LL n,m,Mod; LL fast_pow(LL a,LL p) { LL ans=1LL; for (;p;p>>=1,a=a*a%Mod) if (p&1) ans=ans*a%Mod; return ans; } LL inv(LL x) { return fast_pow(x,Mod-2); } LL C(LL n,LL m) { if (m>n) return 0LL; LL up=1LL,down=1LL; for (LL i=n-m+1;i<=n;++i) up=up*i%Mod; for (LL i=1;i<=m;++i) down=down*i%Mod; return up*inv(down)%Mod; } LL lucas(LL n,LL m) { if (m>n) return 0LL; LL ans=1; for (;m;n/=Mod,m/=Mod) ans=ans*C(n%Mod,m%Mod)%Mod; return ans; } int main() { while (~scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&Mod)) printf("%lld\n",lucas(n-m+1,m)); }
扩展卢卡斯定理/扩展Lucas定理
p不是质数，质因数分解p，列同余方程组 $ans=c_i\ mod\ p_i^{k_i}$ ，其中 $c_i=C_n^m\%p_i^{k_i}$ ，然后用中国剩余定理合并。
using namespace std; #define LL long long LL n,m,MOD,ans; LL fast_pow(LL a,LL p,LL Mod) { LL ans=1LL; for (;p;p>>=1,a=a*a%Mod) if (p&1) ans=ans*a%Mod; return ans; } void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y) { if (!b) x=1LL,y=0LL; else exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x; } LL inv(LL A,LL Mod) { if (!A) return 0LL; LL a=A,b=Mod,x=0LL,y=0LL; exgcd(a,b,x,y); x=((x%b)+b)%b; if (!x) x+=b; return x; } LL Mul(LL n,LL pi,LL pk) { if (!n) return 1LL; LL ans=1LL; if (n/pk) { for (LL i=2;i<=pk;++i) if (i%pi) ans=ans*i%pk; ans=fast_pow(ans,n/pk,pk); } for (LL i=2;i<=n%pk;++i) if (i%pi) ans=ans*i%pk; return ans*Mul(n/pi,pi,pk)%pk; } LL C(LL n,LL m,LL Mod,LL pi,LL pk) { if (m>n) return 0LL; LL a=Mul(n,pi,pk),b=Mul(m,pi,pk),c=Mul(n-m,pi,pk); LL k=0LL,ans; for (LL i=n;i;i/=pi) k+=i/pi; for (LL i=m;i;i/=pi) k-=i/pi; for (LL i=n-m;i;i/=pi) k-=i/pi; ans=a*inv(b,pk)%pk*inv(c,pk)%pk*fast_pow(pi,k,pk)%pk; return ans*(Mod/pk)%Mod*inv(Mod/pk,pk)%Mod; } int main() { scanf("%I64d%I64d%I64d",&n,&m,&MOD); for (LL x=MOD,i=2;i<=MOD;++i) if (x%i==0) { LL pk=1LL; while (x%i==0) pk*=i,x/=i; ans=(ans+C(n,m,MOD,i,pk))%MOD; } printf("%I64d\n",ans); }
