模板 - 图论 - 有上下界的网络流
抄自:https://www.cnblogs.com/nietzsche-oier/p/8185805.html
1.有上下界无源点汇点的可行流问题:
在本文中指:
原图中没有任何一个点可以凭空产生流量,亦没有任何一个点可以凭空消灭流量;
存在边既有流量上界又有流量下界;
求每条边流量的一组可行解;
满足每个点的入流量等于出流量;
由题意可见本题的图中有环,于是此类问题也被称作循环流;
这里给出的解法是将本题转换为一道普通的有上界最大流问题;
修改本题原图中每条边的流量下界为0,上界为原上界-原下界;
视为该边现在已经拥有了等同于该边流量下界的基础流量了,
然而,由于每条边在原图中的流量下界不同,导致他们现在的基础流量不同;
于是如果再让现在图中每个点出入相等,则表面相等,实则不同;
考虑当现在图中一条边i将x的流量汇入点a,实则汇入x+low[i]的流量(low[i]为i的下界),于是应当有额外一条low[i]的边连入a
考虑当现在图中一条边i将x的流量运出点a,实则运出x+low[i]的流量(low[i]为i的下界),于是应当有额外一条low[i]的边自a连出
由于这些额外的流量在现在图中看来是凭空产生的,所以所有连入原图的边应当自一个额外的源点出发,设为S`
同理,所有连出原图的边应当去往一个额外的汇点,设为T`
然后,跑S`到T`的最大流,希望他可以使附加的边满流;
若附加边满流,则跑出了一组可行流,原图中每条边的可行流是他在现在图中对应边的流量加流量下界
若不满流,则说明无论如何,原图中总会有边达不到下界,于是原图不存在可行流;
注意:存在优化——即可以把所有同起点同终点的边等效为一条流量为加和的边,从S`到a的边的流量可以1:1抵消掉从a到T`的流量
2.有上下界无源点汇点的最小费用流问题:
在本文中指:
在上个问题中的图上加权的费用流问题;
这里给出的解法是直接在上题重构的图中,给每条边符合他来历的权值即可;
由于一定附加边满流才有解,于是可以把附加边贡献的费用视为0上后单独算出加到答案中去;
3.有上下界多个有限源汇点的可行流问题:
在本文中指:
在第一个问题的基础上,有些点必须消灭一定的流量,有些点必须产生一定的流量;
对某些必须产生一定流量x的点,从S`连一条上限为x的附加边;
对某些必须消灭一定流量x的点,向T`连一条上限为x的附加边;
跑最大流,期望附加边满流;
4.问题3的最小费用流版本:
在问题3上附上费用,直接跑费用流即可
5.有上下界一组无限流量源汇点的可行流问题:
在本文中指:
存在边既有流量上界又有流量下界;
存在一个源点S可以随意产生流量,存在一个汇点T可以随便消灭流量
求每条边流量的一组可行解;
满足源汇点之外的每个点入流量等于出流量;
可以看出S的流出等于T的流入;
于是建一条从T到S的流量无限的边,本题的图就属于问题1了;
有趣的是,边T->S的流量可以视作原图中S到T的总流量(因为连上此边后,S,T各自的出入相等)
6.问题5的最小费用流版本:
在问题5上附上费用,直接跑费用流即可
7.问题5的最大流版本:
先跑出问题5的一组可行流;
然而这组可行流并不一定是最大流;
发现一个性质,当我们采用增广路算法求解最大流时,并不会修改源点到汇点路径之外的边的流量大小;
这意味着当我们第一次跑出问题5的一组可行解之后(跑这组可行解,即跑从S`到T`的最大流),
在现在的图上直接跑S到T的最大流,
就能保证
1不会影响被视作原图中边流量下界的边的流量情况——他们依然是满流的;
2图上连的T->S的INF边的退流过程,等价于有一条S->T的边在增广,于是他自动把第一次可行流的答案加入第二次跑出的最大流中;
也就是说,这时跑出来的最大流可以被认为是满足上下界前提下的最大流;
8.问题7的最小费用流版本:
在问题7上附上费用,直接跑费用流即可