算法第三章上机实践报告

1.1 问题描述

一个商人穿过一个N×N的正方形的网格，去参加一个非常重要的商务活动。他要从网格的左上角进，右下角出。每穿越中间1个小方格，都要花费1个单位时间。商人必须在(2N-1)个单位时间穿越出去。而在经过中间的每个小方格时，都需要缴纳一定的费用。

这个商人期望在规定时间内用最少费用穿越出去。请问至少需要多少费用？

注意：不能对角穿越各个小方格（即，只能向上下左右四个方向移动且不能离开网格）。

输入格式：

第一行是一个整数，表示正方形的宽度N (1≤N<100)；

后面N行，每行N个不大于100的整数，为网格上每个小方格的费用。

输出格式：

至少需要的费用。

 

1.2 算法描述

注意题目条件：1、商人必须在(2N-1)个单位时间穿越出去。2、不能对角穿越各个小方格（即，只能向上下左右四个方向移动且不能离开网格）。分析可知，商人只能往右或者往下移动。创建一个二维数组m[i][j],记录从上一个位置到该位置的最小花费，那么最后m[n][n]的值就是答案。 

1.3问题求解

1.1.1根据最优子结构性质，列出递归方程式

 m[i][j] = a[i][j] + min(m[i-1][j] , m[i][j-1])　　（i > 1，j > 1）

m[i][j] = a[i][j] + m[i-1][j]　　(j = 1)

m[i][j] = a[i][j] + m[i][j-1]　　(i = 1)

1.1.2给出填表法中表的维度、填表范围和填表顺序

表的维度：二维

填表的范围：1<=i<=n , 1<=j<=n

填表顺序：自上而下，自左向右。 

1.1.3分析该算法的时间和空间复杂度

因为是二重循环所以时间复杂度是O（n^2) 

因为开辟了一个二维数组m[i][j]所以空间复杂度是O（n^2)   

 

1.3心得体会

 分析问题时要耐心找到解决题目的递归方程式，再细心处理边界问题，问题就能迎刃而解。

 

2.对动态规划算法的理解与体会

　动态规划思想和上一章的分治法类似，都是将问题分解为多个子问题，通过求解子问题来得到最终答案，而动态规划的优势在于，动态规划防止了子问题的重复计算，每个问题只计算一次，自底向上地求出原问题的解，这样可以提高运行的效率，帮助我们更好地解决问题。