Lyndon分解

定义:

Lyndon串:$S_{1...|S|}$的所有后缀中,$S_{1...n}$是一个最小的后缀，则称$S$为一个Lyndon串

Lyndon分解:将一个字符串$S$分解为 $s_1+s_2+...+s_k , 且s_1 >= s_2>=...>=s_k$ , $\{s_i\}为Lyndon串$

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性质:

1.有两个Lyndon串 $\{u , v | u < v\}$ ,则$u + v$也为一个Lyndon串

2.若存在字符串$v$，以及字符$c$ , 满足$v+c$为某个Lyndon串的前缀,则有 $d > c , v + d为一个Lyndon串$

3. Lyndon分解对于一个串是唯一的

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Duval 方法:

一个可以在$O(n)/O(1)$的时空复杂度里面求出一个串的Lyndon分解

流程：

维护三个指针$i , j , k$从做向右依次求出Lyndon分解

假定$S[:i-1]$的字符串已经被分解完成

初始化$j = i , k = i + 1$

考虑在以$i$为起点的串 一直延伸下去满足$S_j <= S_k$ ， 并且表示为若干个相同的字符串T以及T的一个真前缀v拼接而成

$S_j == S_k$ 😒 j,k$同时延伸就好了

$S_j < S_k$的时候，因为需要满足Lyndon性质，$T_{last - 1} < T_{last}$不满足了

于是就把$[i,j]$重新当成一个Lyndon串

合法性: 考虑此时 $v + s[k]一定也为一个Lyndon ， 且T < v + s[k] , 故T^h + v + s[k]$也应当为一个Lyndon

$S_j > S_k$的时候，此时这 若干个$T^h$已经是$h$段Lyndon串了，直接跳到v即可

代码:

#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 5000005
using namespace std;

int n,ans;
char s[MAXN];

int main(){
	scanf("%s" , s + 1) , n = strlen(s + 1);
	for(int i = 1 ; i <= n;){
		int j = i , k = i + 1;
		while(k <= n && s[j] <= s[k]){
			if(s[j] < s[k])j = i;
			else j++;
			k++;
		}
		while(i <= j){
			ans = ans ^ (i + k - j - 1);
			i = i + k - j;
		}
	}
	cout<<ans<<endl;
}