组合结构

组合结构

组合结构是组合对象符号化的基本，掌握组合符号化可以更规范的解决许多困难的计数问题

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（无标号）经典的组合构造

Sequence构造

对于组合类A，生成一个不定长的序列构造为

$$1 + A + A^2+...+A^k = \frac{1}{1 - A}$$

又记作$SEQ(A) = \{(a_1...a_m) : m >= 0 , a \in A\}$

即在A里面选取m个元素

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$Amplification_k$构造

即k-膨胀构造,定义如下

$$AMP_k(A) = \{ (a....a) .st\ |size| = k : a \in A \}$$

即要选，一次必须选择k个，复读k次

即$A(z^k)$

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置换群下的等价类

对于一个组合类A，其元素为对组合类B元素的若干组合

$$a\in A .st\ a = (b_1,...,b_m)$$

即组合类的容$cap_B(a) = m$,即$a所含选取的组合个数$

设$G = {G_0,G_1...}$为若干置换操作

若两元素$a_i,a_j$在置换操作$G_i$相同

应当满足$|a_i| = |a_j| , a_i = G_i^p(a_j)$

记$A/G_B$为A中的元素在$G_B操作下等价的组合类集合$

即$a\in A/G_B , a\in A$且a中的元素在置换$G_B$意义下本质相同

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Cycle构造

定义如下:

$$CYC(A) = (SEQ(A) - \{空\})/G_A$$

其中$G_A$是位移置换

一般的有:

$$CYC_k(A) = (A^k)/G_A$$

考虑枚举$G_A$中的旋转步数$i$

会产生$(k,i)个等价类 ， 大小均为\frac{k}{(k,i)}$

则有$AMP_{\frac{k}{(k,i)}}(C)^{(k,i)}$

即$A(z^\frac{k}{(k,i)})^{(k,i)}$

根据burnside，置换下等价类数=置换下不动点的平均数

$$C_k(z) = \frac{1}{k}\sum_{i = 0}^{k - 1}A(z^\frac{k}{(k,i)})^{(k,i)}$$

根据简单的式子推导有:

$$C(z) = \sum_{d=1}\frac{\phi(d)}{d}ln(\frac{1}{1 - A(z^d)})$$

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Multiset构造

定义如下:

$$MSET(A) = SEQ(A)/G_A$$

$$在置换G下(b_1,b_2,b_3)...(b_3,b_1,b_2)将被看为同一个组合\\ $$

考虑如何得到$MSET(A)$

可以枚举A中的所有对象并且确定加入多少个

即:

$$MSET(A) = \prod_{a\in A}\sum_{k = 0}\{a\}^k\\ = \prod_{a\in A}\sum_{k=0}z^{|a|k} = \prod_{a\in A}(\frac{1}{1 - z^{|a|}}) = \prod_{i = 1}(\frac{1}{1-z^i})^{A[i]}\\ =exp(\sum_{i = 1}A[i] * ln(\frac{1}{1-z^i})) = exp \sum_{i = 1}A[i]\sum_{i | j}\frac{x^{ji}}{j}\\ =exp\sum_{j = 1}\frac{1}{j}\sum_{i = 0}F[i]x^{ij} = exp\sum_{i = 1}\frac{F(x^i)}{i}$$

又称Polya指数

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Power Set构造

$$PEST(A) = \prod_{a\in A} (\{空\} + \{a\})\\ \prod(1 + z^{|a|}) = \prod_{i = 0}(1 + z^i)^{A[i]} \\ = exp\sum_{i = 0}A[i]ln(1 + z^i) \\ = exp\sum_{i = 0}A[i]\sum_{k = 1}\frac{(-1)^{k - 1}z^{ik}}{k}\\ exp\sum_{k = 1}\frac{(-1)^{k - 1}}{k}\sum_{i = 0}z^{ik}A[i]\\ =exp\sum_{k = 1}\frac{(-1)^{k - 1}}{k}F(z^k)$$

类似于0/1背包,每个集合选与不选

$$B\in PEST(A) , B\in A$$

即另一定义下的Polya指数

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（有标号）经典的组合构造

就像男人和女人，有标号和无标号完全是两个世界——(我自己说的)

记$ind(a)表示a的标号集合,如何a的标号集合恰好为|a|的全排列，则称为强标号，反之是弱标号$

两个对象的组合积的定义如下

$$a \times b = {(a' , b') : (a',b')是强标号，a',b'离散化后与a,b分别相同}$$

$$两个集合的笛卡尔积为\\ A \times B = ⋃_{a\in A , b\in B}a \times b$$

然后根据其组合意义，有$|a \times b| = (\frac{|a| + |b|}{|a| ,|b|})$

发现这个玩意跟EGF的卷积乘法的性质有点像，于是可以用EGF来刻画一个有标号

即

$$A(z) = \sum_{i = 0}\frac{A[i]z^i}{i!}$$

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Sequence构造

对于组合类A，生成一个不定长的序列构造为

$$1 + A + A^2+...+A^k = \frac{1}{1 - A}$$

又记作$SEQ(A) = \{(a_1\times... a_m) : m >= 0 , a \in A\}$

即在A里面选取m个元素且有标号

$b = (a_1...a_m) , 若a_1...a_m离散化后都属于A,则b应当为SEQ(A)的元素$

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Pointing构造

定义如下:

$$PET(A) = \sum_{k = 0}B_k \times \{a_1,a_2,..,a_k\}$$

组合意义是在图a中选一个节点作为特殊节点（根）

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Set构造

定义如下:

$$SET(A) = SEQ(A)/G_A$$

考虑一个大小为k的集合，即:

$$SET_k(A) = A_k/G_A\\ A_k为选k个元素的不可重集合\\ A_k = \frac{A^k(z)}{k!} , 可以发现A^k(z)得出来的东西是强标号，故要除全排列\\ 有SET(A) = \sum_{k = 0}\frac{A(z)^k}{k!} = exp(A(z))$$

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Cycle构造

$$CYC(A) = SEQ(A)/G_A\\ CYC_k(A) = A^k/G_A\\ A_k(z) = \frac{A^k(z)}{k}\\ 在其组合意义下不难得证\\ 于是\\ CYC(A) = \sum_{k = 1}\frac{A^k(z)}{k} = ln(\frac{1}{1-A(z)})$$

如果置换包含翻转，则式子如下:

$$CYC_{filp}(A) = A(z) + \sum_{k = 2}\frac{A^k(z)}{2k} = \frac{1}{2}(ln(\frac{1}{1-A(z)}) + A(z))$$

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有标号Subsitution构造

子结构构造如下

$$B∘C = \sum_{k = 0}B_k⊠SET_k(C)\\ A ⊠ B = \{ (a,b) : a\in A , b\in B \} , |(a,b)| = |b|$$

组合意义为 将B的每一个节点都换成C的一个对象

Sequence构造

$$S(z) = \sum_{k = 0}\frac{k!x^k}{k!} = \frac{1}{1-x}\\ 令x = A(z) 则有SEQ(A(z)) = x ∘ A(z)= \frac{1}{1 - A(z)}$$

Cycle构造

先得出环的生成函数:$C(z) = \sum_{k = 1}\frac{(k - 1)!z^k}{k!} = ln(\frac{1}{1 - x})$

则有 $CYC(A) = x∘A(z) = ln(\frac{1}{1 - A(z)})$

Set构造

选出k个数，且无标号

$$S(z) = \sum_{k = 0}\frac{z^k}{k!} = exp(z)\\ SET(A) = x∘A(z) = exp(A(z))$$

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Boxed构造

$$DEL(A) = \{ b : |b| = |a| - 1 , a\in A \}\\ ADD(A) = \{ b : |b| = |a| + 1 , a\in A \}\\ $$

$$ADD(DEL(A)) = A\\ $$

$$有个例子\\ C = ADD(DEL(A)^k \times B)^{k}相当于是A把a_1...a_k都藏起来了$$

在生成函数意义下就是求导和积分

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