GAMES101-04- Transformation Cont

Transformation Cont

上节课补充

对于旋转操作，旋转角度为$\theta$，则矩阵可以写为：

那么旋转角度为-$\theta$时，矩阵怎么表示呢？

答：由于$cos-\theta=cos \theta$ $sin-\theta=-sin \theta$，所以从式子变换可看出$R_{-\theta}=R^T_{\theta}$

而从定义的角度可看出，$R_{-\theta}=R_{\theta}^{-1}$。

那么就可以得到一个有趣的关系，$R^T_{\theta}=R_{\theta}^{-1}$，满足这样式子的矩阵也叫正交矩阵。

3D transformation

3D变换的基本概况

三维的变换都可以用二维的变换来类比，那么三维也引入齐次坐标，那么其表示形式可以写为：

同理，对点的定义操作如下：

当然，写$(x/w,y/w,z/w,1)$也是对的，这样就是用四个数来表示三维空间的点。

那么三维空间也可以用4x4的矩阵来表示（仿射变换的情况下，矩阵的最后一行就是0，0，0，1）：

思考，在上式写成4x4矩阵形式的时候，是先考虑线性变换呢，还是先考虑平移呢？

答：同二维空间一样，是先线性变换再平移。

3D变换的旋转表示

考虑三维空间下的旋转，分别是按x轴，y轴和z轴旋转α度，则对应的旋转矩阵如下：

为什么$R_y(α)$的矩阵表示形式跟$R_x(α)$和$R_z(α)$不一样呢？

答：观察可以看出，绕y轴的结果刚好跟绕x和z轴的方向是反的。因为绕y轴旋转的理解跟绕x和z轴旋转的理解不太一样。因为矩阵有旋转对称性，所以对于xyz坐标系来说，利用右手螺旋定理，x叉乘y得到z，y叉乘z得到x，而z叉乘x得到-y，这是跟y是反的，所以旋转矩阵的表示形式会跟绕x轴和绕z轴不太一样。

那么任意的复杂旋转都可以用简单的绕轴旋转来实现吗？

答：是的。式子$R_{xyz}(α，β，γ)=R_x(α)R_y(β)R_z(γ)$表示的意思就是任意的旋转都写成绕x，y，z轴的旋转的组合。（α，β，γ在数学上被称为欧拉角）

而旋转转换为绕轴旋转的方程式（罗德古斯旋转方程式）表示如下：

这个公式在干什么呢？

答：它给了我们一个定义旋转轴为向量n的旋转矩阵，但直接这样定义并不严谨，毕竟向量要确定起点和方向才对，实际上这是默认了这个向量是过原点的，这样的话这个向量就是起点在原点，方向为n这个方向，旋转角度为α，

Viewing观测 transformation

在介绍之前，先用拍照类比一下变换的过程：

• 找到一个好地方，安排好拍照的人员和动作=model transformation
• 找到一个好角度进行拍摄=view transformation
• 按下快门=projection transformation

view视图 transformation

像前面说的，视图变换等同于在摆相机，那么相关重点就有position位置$\overrightarrow{e}$、gaze direction看的角度$\overrightarrow{g}$、up direction向上方向$\overrightarrow{t}$。

向上方向是什么呢？怎么理解呢？

答：假设在相机上插根竖直的草，不改变相机看的角度，左右扭转相机，那么此时相机上插着的草所指向的方向就是向上方向。

Key observation

当用同样的方式移动相机和物体的时候（也就是，保证两者的相对位置时），得到的结果会是一样的。

既然这样的话，我们就可以定义相机的位置永远不变，就定相机的标准位置就在原点，相机永远往-z的方向看，相机永远以y轴为向上方向。

也可以用向量表示如下：

为什么要这样定义呢？

答：这样做可以让操作简化。

数学表示

视图变换记作$M_{view}$，这个变换可以由先平移变换再旋转变换的操作表示为$M_{view}=R_{view}T_{view}$。

• $T_{view}$表示平移变换，对上原点

• $R_{view}$表示做旋转变换

  我们希望$\overrightarrow{g}$对应-z轴方向，$\overrightarrow{t}$对应y轴方向，$\overrightarrow{g}\times \overrightarrow{t}$对应x轴方向这样来调整，但是这样难以表示，所以反向思考，我们可以让x轴对应$\overrightarrow{g}\times \overrightarrow{t}$方向，y轴对应$\overrightarrow{t}$方向，z轴对应$\overrightarrow{-g}$方向，这样对应的旋转矩阵$R_{view}^{-1}$可以表示如下：

  

  这个时候用到笔记一开始的内容，旋转矩阵是正交矩阵，满足$R^T_{\theta}=R_{\theta}^{-1}$，所以已知$R_{view}^{-1}$，那么$R_{view}$就可以用$R_{view}=(R^{T}_{view})^{T}=(R^{-1}_{view})^T$得到。

projection投影 transformation

投影有几种方式，一是3D到2D的投影，二是正交投影，三是透视投影。这里主要讲后两种投影方式。

首先从下图区别后两种投影方式：

左边这图，怎么看线都是平行的。而右边这图，线延长后会发现线会相交于某点。

那么这两个投影有什么本质区别呢？

答：正交投影不会带来近大远小的现象，而透视投影会带来近大远小的现象。

再举个例子，下图种透视投影的相机看作是一个点，而正交投影假设的就是相机离得无限远。

orthographic正交projection

• 定义一个长方体，其实就是定义各边对应三个轴的数值

  

• 将长方体的中心对应原点

  

• 进行缩放，从而把长方体转变为标准立方体

  

怎么做——变换矩阵

$-\frac{r+l}{2}$、$-\frac{t+b}{2}$、$-\frac{n+f}{2}$是为了实现平移，对应原点。

$\frac{2}{r-l}$、$\frac{2}{t-b}$、$\frac{2}{n-f}$是为了实现缩放，使得各轴范围就是[-1,1]。

那么进行缩放处理后，物体会被拉伸吗？

答：会被拉伸，但是在所有变换结束后，还会进行视口变换，此时还会进行一次拉伸，所以此时缩放被拉伸不是什么问题。

perspective透视projection

透视投影带来的效果就是平行线不再平行。

review 齐次方程

怎么做

透视投影是一个点延伸出来四棱锥，定义一个近和远，服从近大远小的规则。

对透视投影的处理分为两步：

• 将frustum压缩为cuboid（$M_{persp\rightarrow ortho}$)

也就是考虑把后面的投影面在平面内向里进行压缩，压缩成跟前一个面一样大小。（规定近平面不发生变化且远平面的中心点也不发生变化）

怎么压缩远平面呢？

答：

第一步——考虑学过的知识，找到下图中点$(x,y,z)$与点$(x',y',z')$的关系，即对y挤压有$y'=\frac {n}{z}y$的关系，同理，对x挤压有$x'=\frac {n}{z}x$的关系。

也就是说，对于变换过程的齐次方程来说，肯定存在一个矩阵$M_{persp\rightarrow ortho}$，使得该矩阵左乘以下图左侧的$(x,y,z,1)^T$必然得到$(nx/z,ny/z,unknown,1)^T$，再对该矩阵处理得到$（nx,ny,still\ unknown,z)^T$。

即，$(x,y,z,1)^T$必然可以映射到右边这个向量$（nx,ny,still\ unknown,z)^T$。

故$M_{persp\rightarrow ortho}$左乘$(x,y,z,1)^T$的式子可写为：

因此，我们可以写出部分的$M_{persp\rightarrow ortho}$如下满足上面映射关系：

第二步——结合条件1（近平面点不变），假设z为n，那么得到下图式子：

此时就可以考虑特殊情况，$M_{persp\rightarrow ortho}$的第三行设为$(0\ 0\ A \ B)$左乘$(x,y,z,1)^T$会得到$n^2$,即：

为什么第三行设为$(0\ 0\ A \ B)$呢？

答：因为等号右侧的矩阵第三行为$n^2$不包含$x$和$y$（也就是跟$x$和$y$无关），所以第三行的前两列都要设为0，而后两列说不准，所以只能将第三行设为$(0\ 0\ A \ B)$。

此时得到一个方程，$An+B=n^2$。

第三步——考虑条件2（远平面z不变），此处特别考虑远平面的中心点$(0,0,f,1)$，那么这个点的映射关系如下：

此时也得到一个方程，$Af+B=f^2$。

结合第二步和第三步的方程式，我们可以解得$A=n+f，B=-nf$。

最终得到完整的$M_{persp\rightarrow ortho}$。

在这节课的最后提出一个问题，Frustum中n和f处的z是不变的，那么考虑在n和f之间的某个z’的截面在远平面进行压缩时z‘是否会改变？（而这个n和f其实是往-z轴方向看的，所以要注意——n其实是大于f的）

• 做正交投影（$M_{ortho}$)

由于正交投影，上方已经解出，所以这部分就不再记录了。