麻省理工-高等线性代数笔记6. 列空间

6. 列空间

Review

什么是向量空间？

其实就是一些向量(例\(v\)和\(w\))，对一些运算封闭，空间内任向量相加仍在空间，或者任向量乘以某常数也仍在空间里，线性组合也必然在空间内（相加\(v+w\)、数乘\(cv\)、线性运算\(cv+dw\)均封闭）

什么是子空间？

它们属于母空间，但自身又构成向量空间，也就是说子空间是向量空间内的向量空间。

以\(R^3\)空间举例，其子空间有平面\(P\)，有直线\(L\)。

思考一个问题，平面\(P\)和直线\(L\)的并是不是子空间？(将平面上所有向量和直线上所有向量合起来考虑，得到的是子空间吗？)

答案是No，因为加法不封闭。

那么平面\(P\)和直线\(L\)的交是不是子空间？

当直线\(L\)不在平面上，平面\(P\)和直线\(L\)的交集为0,即零向量;当直线\(L\)在平面上，二者交集为直线\(L\)。

故答案是Yes。

以上延伸成更一般的问题，已知子空间\(S\)和\(T\)，那么其交集\(S∩T\)是否为子空间？

答案是Yes，因为任一在交集中的向量满足相加封闭、数乘封闭、线性组合封闭。

列空间

以矩阵\(A\)为例：

可知矩阵\(A\)的列向量是\(R^4\)的子空间，子空间记作\(C(A)\)。

当然光是\(A\)的三个列向量不能找到子空间，那么怎样将其扩充为子空间？

取其线性组合即可。

即\(A\)的列空间由其所有列的线性组合构成，这就得到了一个子空间。

就这个例子而言，得到的三个列向量的线性组合的子空间并不能得到整个四维空间，而是思维空间的真子空间。

继续思考，提出问题——

\(Ax=b\)是否对任意\(b\)都有解？

答案是No，因为\(Ax=b\)中有四个方程，却只有三个未知数。用前面提到的，3个列向量的线性组合无法充满整个四维空间，因此有一大堆\(b\)不是这3个列向量的线性组合。

那么，什么样的\(b\)使方程组有解？

\(Ax=b\)有解，当且仅当右侧向量\(b\)属于\(A\)的列空间。因为根据定义，列空间包含所有\(A\)的线性组合，包含所有的\(Ax\),就是列空间包含所有\(A\)乘以任意\(x\)得到的向量，也就是包含所有有解的\(b\)。

换句话说，如果\(b\)不是各列的线性组合，则不存在对应的\(x\),也就无法解出\(Ax=b\)。

我们能否丢掉\(A\)中的某列得到，同\(A\)一样的列空间？(\(A\)的三个列向量是否线性无关)

能，丢掉列三，因为列三就是前两列的线性组合，列三对向量空间毫无影响。我们称前两列为主列。当然我们也可以丢掉列一。因此关于主列选取，惯例是优先考虑靠前的线性无关向量(\(A\)的三个列向量线性相关)

故，矩阵\(A\)可以称作是\(R^4\)中的二维子空间。

零空间

零空间是一种完全不同的子空间，

还是以矩阵\(A\)举例，\(A\)的零空间包含\(Ax=0\)中。这些\(x\)向量包含三个分量，因此零空间是\(R^3\)空间，而列向量是\(R^4\)空间。

对于\(m\) x \(n\)矩阵，零空间是\(R^n\)空间，而列向量是\(R^m\)空间。

记\(A\)的零空间为\(N(A)\)，首先其必然包含0，\([0,0,0]^T\)必是一个解。 还有\([1,1,-1]^T\)......

零空间包含所有向量\([1,1,-1]^T\)的任意倍数的向量，即\(x=[c,c,-c]^T\)(\(c\)可以取包含0的任意数)，从图像里看，这里的零空间是一条\(R^3\)空间里的直线。

我们怎么知道零空间是向量空间的？为什么零空间能称作空间？

检验\(Ax=0\)的解构成一个子空间，因为可知其解，即零空间，符合相加封闭、数乘封闭、线性组合封闭。(即已知\(Av=0\),\(Aw=0\)，验证相加\(v+w\)、数乘\(cv\)、线性运算\(cv+dw\)均封闭，满足\(Ax=0\))

那么什么是向量空间的关键呢？

向量空间需要穿过原点，如果考虑的是\(x\)，那么\(x\)必须是\(Ax=0\)的解。

总结

本节讲了构筑子空间的两种方法：

1. 从几个向量，通过线性组合得到子空间——列空间；
2. 从一个方程组中，通过让\(x\)满足特定条件来得到子空间——零空间。