行列式的定义
这里有一个方程组:.
为了求解这个方程组,我们可以先上下两个方程分别乘以9和5,可得:.
上下两个方程相减,即可消去x,获得y的值:.
同理,可得x的值:.
现在,我们可以定义一个新运算,符号表示如下:
那么,上面这个方程组的解就可以表示为:,
.
这就是行列式.
一.二阶行列式
2行2列,4个元素.
下标的第一个数字指的是行标,第二个数字指的是列标.
主对角线:左上角到右下角的斜线.
次对角线:右上角到左下角的斜线.
二.三阶行列式
排列:由1,2,3,......,n组成的一个有序数组叫做n级排列,中间不能缺少数字.
一个n级排列共有n(n-1)(n-2)....21 = n!种可能.
逆序:大数排在小数前面.
逆序数:逆序的总数。例如,排列“4 2 1 3”,‘4’后面有3个逆序数,‘2’后面有1个逆序数,‘1’后面没有逆序数,所以“4 2 1 3”这个排列共有4个逆序数.逆序数的表示方式为:N(排列)
偶排列:逆序数是偶数的排列.
奇排列:逆序数是奇数的排列.
标准排列(自然排列):指的是逆序数为零的排列,如“1 2 3 4”,即N(1 2 3 4) = 0.
定理1:一个排列,每两个数字发生一次对换,排列的奇偶性就变一次.
定理2:一个n级排列的所有可能中,奇排列与偶排列各占一半。
三.n级行列式
1.定义
n阶行列式
n阶行列式的第一种定义(按行):行标取标准排列,列标取排列的所有可能。从不同行不同列中取出n个元素相乘,符号由列标排列的奇偶性决定。展开后一共有n!项.
n阶行列式的第二种定义(按列):列标取标准排列,行标取排列的所有可能。从不同行不同列中取出n个元素相乘,符号由行标排列的奇偶性决定。展开后一共有n!项.
n阶行列式的第三种定义(既不按行,也不按列):从不同行不同列中取出n个元素相乘,符号由行标与列标排列的奇偶性决定。展开后一共有n!项.
行列式的符号表示:D
单个元素的行列式等于该元素.
2.特殊形态的行列式
a.下三角行列式
b.上三角行列式
c.对角型行列式
d.伪下三角行列式
e.伪上三角行列式
与伪下三角行列式类似,且结果相同.