04 2025 档案
摘要：线性相关 对于 \(n\) 个向量 \(\bm{v}_1, \bm{v}_2, ......, \bm{v}_n\)，称它们线性相关，当且仅当存在 \(\text{不全为}\ 0\ \text{的}\ n\ \text{个数}c_1, c_2, ......, c_n\in \mathbb{R},
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摘要：子矩阵 设 \([n]=\{1, 2, ......, n\}\)，设 \(r\subseteq [n], c\subseteq [m]\)，则定义子矩阵 \(A_{r, c}\) 是只保留 \(A_{ij}(i\in r, j\in c)\) 的元素形成的矩阵。 余子式和代数余子式 对于 \(n\
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摘要：前置知识 矩阵定义 矩阵加法，数乘 矩阵乘法 高斯消元 置换 转置 设 \(A\) 是 \(n\times m\) 的矩阵，它的转置矩阵记作 \(A^T\)，满足 \(A_{i, j}=A^T_{j, i}\)。 例如原矩阵： \[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4
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摘要：等一分钟 以下方括号表示艾弗森括号，括号里的内容为真则括号的值是 \(1\)，否则是 \(0\)。 题意 记 \(W(x, l, r)=\sum_{i=l}^r[a_i=x]\)，求 \(\underset{1\leq l\leq r\leq n, v\text{是}a_l, a_{l+1}, ..
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摘要：数学基础 相关符号 多项式系数提取符号 \([x^i]f(x)\) 表示多项式 \(f(x)\) 中 \(x^i\) 前的系数。 艾弗森括号 \([P]=\begin{cases}1, P \text{为真}\\0, P\text{为假}\end{cases}\) 求积符号 \(\prod_{i=1
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摘要：在上一章的最后，我们使用 Burnside 引理解决了 【模板】Pólya 定理。但是，这类题其实可以被 Pólya 定理更好的解决。 Pólya 定理 设 \(G, X\) 均有限且 \(G\) 作用在 \(X\) 上，\(Y\) 是一个有限集（你可以认为其中的每一个元素都是一种颜色），定义 \(
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摘要：对称群 对于集合 \(A\)，定义对称群是由全体 \(A\rightarrow A\) 的双射构成的群（运算是映射的复合），记做 \(\text{Sym}(A)\)。 当 \(A\) 是有限集时，设 \(n=|A|\)，则称 \(\text{Sym}(A)\) 为 \(n\) 次对称群，记作 \(S
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摘要：群作用 考虑群 \(G\) 和集合 \(X\)，如果有二元运算 \(g*x(g\in G, x\in X)\) 满足如下性质，则称群 \(G\) 作用于 \(X\)。 \(g*x\in X\) \(g1\times (g2*x)=(g1\times g2)*x\) \(e*x=x\) 为了书写简便，
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摘要：陪集的定义 对于两个群 \(H, G\)，如果 \(H\leq G, g\in G\)，则定义左陪集： \(gH=\{g\times h|h\in H\}\) 定义右陪集： \(Hg=\{h\times g|h\in H\}\) 陪集的性质 如果 \(H\leq G, g\in G\)，则有： \(
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摘要：群的定义 群是满足如下条件的二元组 \((G, \times)\)，其中 \(G\) 是一个集合，\(\times\) 是一个二元运算。 封闭性：\(\forall a, b\in G, a\times b \in G\) 结合律：\(\forall a, b, c\in G, (a\times b
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摘要：维护连通性 对一个森林，进行连边，删边操作（保证任何时候整个图是一个森林）和查询两个点是否连通。 做法 连边/删边是基础操作。 LCT 可以查找某个点 \(u\) 所在的树的树根，具体方法是，对 \(u\) access 再 splay，此时 \(u\) 和根在同一个 Splay 内，那么这个 Sp
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摘要：寻常歌 VP了这场AGC，得到了零分...... 题意简述 题目太长了 解法 观察性质。 对于一个数列 \(\{a_l\oplus B, a_{l+1}\oplus B, ......, a_r\oplus B\}\)，如果将其分为 \([l, m]\) 和 \([m+1, r]\)，设 \([l,
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