第一章：行列式

前置知识

• 矩阵定义
• 矩阵加法，数乘
• 矩阵乘法
• 高斯消元
• 置换

转置

设 \(A\) 是 \(n\times m\) 的矩阵，它的转置矩阵记作 \(A^T\)，满足 \(A_{i, j}=A^T_{j, i}\)。
例如原矩阵：

\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{bmatrix} \quad (2 \times 3 \text{矩阵}) \]

转置矩阵：

\[A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \\ \end{bmatrix} \quad (3 \times 2 \text{矩阵}) \]

转置矩阵满足如下性质：

• \((A^T)^T=A\)
• \((kA)^T=kA^T\)
• \((A+B)^T=A^T+B^T\)
• \((AB)^T=B^TA^T\)
  前三个性质容易证明，下面证明一下第四个性质：
  \((AB)^T_{ij}=(AB)_{ji}=\sum_{k=1}^{n}A_{jk}B_{ki}\)

\((B^TA^T)_{ij}=\sum_{k=1}^nB^T_{ik}A^T_{kj}=\sum_{k=1}^nA_{jk}B_{ki}\)

所以两个矩阵的每个元素都相等，故两个矩阵相等。

行列式的定义

对于 \(n\times n\) 的矩阵 \(A\)，定义它的行列式是 \(\underset{\sigma\in S_n}{\sum}\text{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^na_{i, \sigma(i)}\)，记作 \(\det(A)\) 或者 \(|A|\)。

上述定义实际上是按行定义的，如下定义是按列定义的。

\(|A|=\underset{\sigma\in S_n}{\sum}\text{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^na_{\sigma(i), i}\)

容易证明这两个定义是等价的，由此得到了结论 \(|A|=|A^T|\)。

\(2×2\) 矩阵

\[A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} \]

\[ \det(A) = ad - bc \]

例子：

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \]

\[ \det(A) = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2 \]

2. \(3×3\) 矩阵

\[B = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{pmatrix} \]

\[\det(B) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) \]

例子：

\[B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{pmatrix} \]

\[\det(B) = 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3 \cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) \]

\[= 1 \cdot (45 - 48) - 2 \cdot (36 - 42) + 3 \cdot (32 - 35) \]

\[= 1 \cdot (-3) - 2 \cdot (-6) + 3 \cdot (-3) \]

\[= -3 + 12 - 9 = 0 \]

初等行变换

在高斯消元中，我们通过初等行变换将系数矩阵变为上三角矩阵。现在我们需要考虑初等行变换对矩阵行列式的影响。

初等行变换对行列式的影响如下：

1. 交换两行（行互换）

• 影响：行列式变号（乘以 \(-1\)）。
• 例子：
  \[\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{vmatrix} = 1 \times 4 - 2 \times 3 = -2 \]
  交换第 \(1\) 行和第 \(2\) 行后：
  \[\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \\ \end{vmatrix} = 3 \times 2 - 4 \times 1 = 2 = -(-2) \]

证明
设 \(A\) 交换 \(i, j\) 两行后变为 \(A'\)。那么 \(|A'|=\underset{\sigma\in S_n}{\sum}\text{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^na'_{\sigma(i), i}=\underset{\sigma\in S_n}{\sum}\text{sgn}((i, j)\circ\sigma)\prod_{i=1}^na_{\sigma(i), i}=-\underset{\sigma\in S_n}{\sum}\text{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^na_{\sigma(i), i}=-|A|\)。
推论
如果 \(A\) 中有两行相等，那么 \(|A|=0\)。
这是因为交换这相等的两行，得到的矩阵还是 \(A\)，所以 \(|A|=-|A|\)，所以 \(|A|=0\)。

2. 某行乘以非零常数 \(k\)

• 影响：行列式乘以 \(k\)
• 例子：
  \[\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{vmatrix} = -2 \]
  将第 \(1\) 行乘以 \(2\)：
  \[\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 4 \\ \end{vmatrix} = 2 \times 4 - 4 \times 3 = -4 = 2 \times (-2) \]

证明
如果把第 \(p\) 行乘以 \(k\)。
只需注意到 \(a'_{p, j}=ka_{p, j}\)，所以 \(|A'|=\underset{\sigma\in S_n}{\sum}\text{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^na'_{\sigma(i), i}=k\underset{\sigma\in S_n}{\sum}\text{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^na_{\sigma(i), i}=k|A|\)。
推论
如果 \(A\) 中有一行是另一行的倍数，则 \(|A|=0\)。
证明
设第 \(i\) 行是第 \(j\) 行的 \(k\) 倍，设第 \(i\) 行乘以 \(k\) 后得到了矩阵 \(A'\)，那么 \(|A'|=0\)，于是 \(|A|=\frac{1}{k}|A'|=0\)。

3. 将一行的倍数加到另一行（行倍加）

• 影响：行列式不变。
• 例子：
  \[\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{vmatrix} = -2 \]
  将第 \(1\) 行的 \(-3\) 倍加到第 \(2\) 行：
  \[\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -2 \\ \end{vmatrix} = 1 \times (-2) - 2 \times 0 = -2 \]
  行列式保持不变。

证明
首先可以使用行列式定义证明行列式具有可拆分性，即

\[\det\begin{pmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \vdots \\ \mathbf{b} + \mathbf{c} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_n \\ \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \vdots \\ \mathbf{b} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_n \\ \end{pmatrix} + \det\begin{pmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \vdots \\ \mathbf{c} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_n \\ \end{pmatrix} \]

所以 \(\det(\bm{v}_1, ...,\bm{v}_i, ..., \bm{v}_j+k\bm{v}_i, ..., \bm{v}_n)^T=\det(\bm{v}_1, ..., \bm{v}, ..., \bm{v}_j, ..., \bm{v}_n)^T+\det(\bm{v}_1, ..., \bm{v}, ..., k\bm{v}_i, ..., \bm{v}_n)^T=\det(\bm{v}_1, ..., \bm{v}, ..., \bm{v}_j, ..., \bm{v}_n)^T\)。

习题

一.设 \(A\) 是一个 \(n \times n\) 的方阵，证明：若 \(A\) 的某一行（或某一列）全为零，则 \(\det(A) = 0\)。
二.设 \(A\) 是一个 \(n \times n\) 的方阵，其第 \(i\) 行可以表示为 \(r_i = \alpha u + \beta v\)，其中 \(u, v\) 是行向量，\(\alpha, \beta\) 是标量。证明：

\[\det(A) = \alpha \det(A') + \beta \det(A'') \]

其中 \(A'\) 是将 \(A\) 的第 \(i\) 行替换为 \(u\) 得到的矩阵，\(A''\) 是将 \(A\) 的第 \(i\) 行替换为 \(v\) 得到的矩阵。
三.计算以下行列式的值：（答案：\(14\)）

\[\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} \]

四.计算一下行列式的值：(答案：\(24\))

\[\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{vmatrix} \]

五.设 \(n\times n\) 的方阵 \(A\) 满足 \((A)_{ij}=0\) 对一切 \(i>j\) 成立，求证 \(|A|=\prod_{i=1}^n(A)_{ii}\)。

行列式的计算

习题五告诉我们，上三角矩阵的行列式是容易计算的。因此我们只要使用类似高斯消元的办法，将矩阵化为上三角矩阵，就能容易地求某个矩阵的行列式。
题目：
计算三阶矩阵 \(A\) 的行列式，其中

\[A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \]

解答过程：

1. 初等行变换化为上三角矩阵：

   • 步骤1： 将第一列下方的元素变为零。

     • 用 \(\text{Row2} = \text{Row2} - \frac{1}{2}\text{Row1}\)：
       \[B = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 0 & 0.5 & 2.5 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \]

     • 用 \(\text{Row3} = \text{Row3} - 2\text{Row1}\)：
       \[C = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 0 & 0.5 & 2.5 \\ 0 & -1 & 4 \end{bmatrix} \]

   • 步骤2： 将第二列下方的元素变为零。

     • 用 \(\text{Row3} = \text{Row3} + 2\text{Row2}\)：
       \[D = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 0 & 0.5 & 2.5 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix} \]

2. 计算上三角矩阵的行列式：

   \[\det(A)=\det(B)=\det(C)=\det(D) = 2 \times 0.5 \times 9 = 9 \]

所以原矩阵的行列式是 \(9\)。