BZOJ1264: [AHOI2006]基因匹配Match
Description
基因匹配（match） 卡卡昨天晚上做梦梦见他和可可来到了另外一个星球，这个星球上生物的DNA序列由无数种碱基排列而成（地球上只有4种），而更奇怪的是，组成DNA序列的每一种碱基在该序列中正好出现5次！
这样如果一个DNA序列有N种不同的碱基构成，那么它的长度一定是5N。
卡卡醒来后向可可叙述了这个奇怪的梦，而可可这些日子正在研究生物信息学中的基因匹配问题，于是他决定为这个奇怪星球上的生物写一个简单的DNA匹配程序。
为了描述基因匹配的原理，我们需要先定义子序列的概念：
若从一个DNA序列（字符串）s中任意抽取一些碱基（字符），将它们仍按在s中的顺序排列成一个新串u，则称u是s的一个子序列。
对于两个DNA序列s1和s2，如果存在一个序列u同时成为s1和s2的子序列，则称u是s1和s2的公共子序列。
卡卡已知两个DNA序列s1和s2，求s1和s2的最大匹配就是指s1和s2最长公共子序列的长度。
[任务] 编写一个程序：
从输入文件中读入两个等长的DNA序列；
计算它们的最大匹配；
向输出文件打印你得到的结果。
Input
输入文件中第一行有一个整数N，表示这个星球上某种生物使用了N种不同的碱基，以后将它们编号为1…N的整数。
以下还有两行，每行描述一个DNA序列：包含5N个1…N的整数，且每一个整数在对应的序列中正好出现5次。
Output
输出文件中只有一个整数，即两个DNA序列的最大匹配数目。
Sample Input
2
1 1 2 2 1 1 2 1 2 2
1 2 2 2 1 1 2 2 1 1
1 1 2 2 1 1 2 1 2 2
1 2 2 2 1 1 2 2 1 1
Sample Output
7
HINT
[数据约束和评分方法]
60%的测试数据中：1<=N <= 1 000
100%的测试数据中：1<=N <= 20 000
题解Here!
很显然的一道$DP$题。
首先，题目要求$LCS$。
但是$LCS$好像只有$O(n^2)$的做法。。。
于是我们想要转化问题。
有个结论：
两个长度均为$n$的序列$A[i],B[i]$，将$A[i]$在$B[i]$中的位置记录下来，求出其$LIS$，就是两个序列的$LCS$。
然后对于这个题，我们同样将$A[i]$在B[i]$中的位置记录下来。
但是我们发现有重复元素怎么办？
没事，我们记录下所有的位置，然后从大到小排个序就好。
然后就变成了$LIS$了。
注意到$n\leq 10^5$，所以我们要使用$O(n\log_2n)$的算法。
这里我使用了树状数组，因为只有不停的加，所以正确性可以保证。
附代码：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define MAXN 100010
using namespace std;
int n,ans=0;
int A[MAXN],B[MAXN],dp[MAXN],bit[MAXN],id[MAXN][7];
inline int read(){
int date=0,w=1;char c=0;
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
return date*w;
}
inline int lowbit(int x){return x&(-x);}
inline void add(int x,int v){for(;x<=n;x+=lowbit(x))bit[x]=max(bit[x],v);}
inline int sum(int x){int s=0;for(;x;x-=lowbit(x))s=max(s,bit[x]);return s;}
void work(){
for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=5;j>=1;j--){
dp[i]=sum(id[A[i]][j]-1)+1;
add(id[A[i]][j],dp[i]);
ans=max(ans,dp[i]);
}
printf("%d\n",ans);
}
void init(){
n=read();
n*=5;
for(int i=1;i<=n;i++)A[i]=read();
for(int i=1;i<=n;i++){
B[i]=read();
id[B[i]][++id[B[i]][0]]=i;
}
}
int main(){
init();
work();
return 0;
}
