LOJ#10064. 「一本通 3.1 例 1」黑暗城堡

你知道黑暗城堡有 $N$ 个房间， $M$ 条可以制造的双向通道，以及每条通道的长度。

城堡是树形的并且满足下面的条件：

设 $D_i$ 为如果所有的通道都被修建，第 $i$ 号房间与第 $1$ 号房间的最短路径长度；

而 $S_i$ 为实际修建的树形城堡中第 $i$ 号房间与第 $1$ 号房间的路径长度；

要求对于所有整数 $i(1\le i\le N)$ ，有 $S_i= D_i$ 成立。

你想知道有多少种不同的城堡修建方案。当然，你只需要输出答案对 $2^{31}-1$ 取模之后的结果就行了。

输入格式

第一行为两个由空格隔开的整数 $N, M$ ;

第二行到第 $M+1$ 行为 $3$ 个由空格隔开的整数 $x, y, l$ ：表示 $x$ 号房间与 $y$ 号房间之间的通道长度为 $l$ 。

输出格式

一个整数：不同的城堡修建方案数对 $2^{31}-1$ 取模之后的结果。

样例输入

样例输出

样例说明

一共有 $4$ 个房间， $6$ 条道路，其中 $1$ 号和 $2$ 号， $1$ 号和 $3$ 号， $1$ 号和 $4$ 号， $2$ 号和 $3$ 号， $2$ 号和 $4$ 号， $3$ 号和 $4$ 号房间之间的通道长度分别为 $1$ ， $2$ ， $3$ ， $1$ ， $2$ ， $1$ 。

而不同的城堡修建方案数对 $2^{31} -1$ 取模之后的结果为 $6$ 。

数据范围与提示

对于全部数据， $1\le N\le 1000$ ， $1\le M\le \frac{N(N-1)}{2}$ ， $1\le l\le 200$ 。

题解Here!

据说标解是最短路径树？但是本蒟蒻不会啊。。。

然后开始 $YY$ 。。。

首先一发最短路没的说。

我直接 $SPFA$ 的，出题人良心，没有卡 $SPFA$ 。

然后把所有可能在生成树上的边提出来。

我们会发现这些边形成了一个 $DAG$ 。

然后对于每个点（除了 $1$ ），我们一定至少有一种选择方案，将它挂在某个节点的下面，成为儿子节点。

所以我们把这些点的选择方案数乘起来就是我们的答案。

而每个点 $i$ 的选择方案就是这个点在 $DAG$ 中的入度 $indegree[i]$ 。

答案可以表示成： $Ans=\prod_{i=2}^n indegree[i]$

然后就没了。

记得开 $long\ long$ 。

附代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<queue>
#define MAXN 1010
#define MAX 999999999
#define MOD 2147483647LL
using namespace std;
int n,m,c=1;
int head[MAXN],path[MAXN];
long long ans=1,indegree[MAXN];
bool vis[MAXN];
struct Grpah{
    int next,to,w;
}edge[MAXN*MAXN];
inline int read(){
    int date=0,w=1;char c=0;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
    return date*w;
}
inline int relax(int u,int v,int w){
    if(path[v]>path[u]+w){
        path[v]=path[u]+w;
        return 1;
    }
    return 0;
}
inline void add_edge(int u,int v,int w){
    edge[c].to=v;edge[c].w=w;edge[c].next=head[u];head[u]=c++;
    edge[c].to=u;edge[c].w=w;edge[c].next=head[v];head[v]=c++;
}
void spfa(){
    int u,v;
    queue<int> q;
    for(int i=1;i<=n;i++){path[i]=MAX;vis[i]=false;}
    path[1]=0;
    vis[1]=true;
    q.push(1);
    while(!q.empty()){
        u=q.front();
        q.pop();
        vis[u]=false;
        for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){
            v=edge[i].to;
            if(relax(u,v,edge[i].w)&&!vis[v]){
                vis[v]=true;
                q.push(v);
            }
        }
    }
}
void work(){
    int u,v,w;
    for(int i=1;i<c;i+=2){
        u=edge[i+1].to;v=edge[i].to;w=edge[i].w;
        if(path[u]+w==path[v])indegree[v]++;
        if(path[v]+w==path[u])indegree[u]++;
    }
    for(int i=2;i<=n;i++)ans=ans*indegree[i]%MOD;
    printf("%lld\n",ans);
}
void init(){
    int u,v,w;
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++){
        u=read();v=read();w=read();
        add_edge(u,v,w);
    }
    spfa();
}
int main(){
    init();
    work();
    return 0;
}