BZOJ1925: [Sdoi2010]地精部落
Description
传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。
地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。
具体地说，一座长度为 N 的山脉 H可分 为从左到右的 N 段，每段有一个独一无二的高度 Hi，其中Hi是1到N 之间的正 整数。
如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。
位于边 缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。
类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。
地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。
地精的酒馆 不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。
地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮 流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。
地精们希望这N 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足 这个条件的整座山脉才可能有地精居住。
现在你希望知道，长度为N 的可能有地精居住的山脉有多少种。
两座山脉A 和B不同当且仅当存在一个 i，使得 Ai≠Bi。
由于这个数目可能很大，你只对它 除以P的余数感兴趣。
Input
仅含一行，两个正整数 N, P。
Output
仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余 之后的结果。
Sample Input
4 7
Sample Output
3
HINT
对于 20%的数据，满足 N≤10；
对于 40%的数据，满足 N≤18；
对于 70%的数据，满足 N≤550；
对于 100%的数据，满足 3≤N≤4200，P≤10^9
题解Here!
这个题属于代码简短，但是思维很烦的题。
首先，我们需要知道波动序列的几个性质：
- 在一个波动数列中，若两个$i$与$i+1$不相邻，那么我们直接交换这两个数字就可以组成一个新的波动数列。
- 把波动数列中的每个数字$A_i$变成$(N+1)-A_i$会得到另一个波动数列，且新数列的山峰与山谷情况相反。
- 波动序列有对称性。
这三条均可以证明。
不过本蒟蒻就不证了。。。我才不会告诉你我不会证。。。
然后呢？
$DP$！
设$dp[i][j]$表示选$[1,i]$这些数字，第一个数为山峰（山峰山谷比较形象），且第一个数为$j$的方案数。
答案就是：$$\sum_{i=1}^ndp[n][i]$$
如何转移？
先列出转移方程：
$$dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][i-j+1]$$
然后再来解释怎么来的：
首先，我们每次求$j$作序列头，且表示山峰.
由性质一可知，当$j$与$j-1$不相邻的时候，$j$作为头所有的方案数与$j-1$作为头的方案数相同。
于是就有：$$dp[i][j]==dp[i][j-1]$$
然后当$j$与$j-1$相邻时：
我们可以这么想：我们第一个数选择了$j$并且定义为山峰，那我第二个数$j-1$必定为山谷。
并且后面的数一定在$[1,j-1]\cup[j+1,i]$这个范围内。
此时问题转化成了：
求$i-1$个数，$j-1$为头，但是$j-1$为山谷的方案数。
由性质二可知，$j-1$作山谷和作山峰的方案数相同。
于是现在的问题就是，此时的区间和$DP$的区间意义不同。
但是因为山峰与山谷是相对位置关系，所以将$[j+1,i]$区间的每个数都减一是不改变相对大小关系的。
所以此时是符合我们的方程的。
另外，$dp[i-1][j-1]$表示的是$j-1$为山顶时的个数。
所以为了让其表示$j-1$为山谷的情况，要改成$dp[i-1][(i-1+1)-(j-1)]$。
这样，我们就得到了我们的转移方程。
并且我们可以用滚动数组优化空间。
附代码：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define MAXN 5010
using namespace std;
int n;
long long p,ans=0;
long long dp[2][MAXN];//滚动数组
inline int read(){
int date=0,w=1;char c=0;
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
return date*w;
}
void solve(){
dp[0][2]=1;
for(int i=3;i<=n;i++)
for(int j=2;j<=i;j++)
dp[i&1][j]=(dp[i&1][j-1]+dp[(i-1)&1][i-j+1])%p;
for(int i=2;i<=n;i++)ans=(ans+dp[n&1][i])%p;
printf("%lld\n",(ans<<1)%p);
}
int main(){
n=read();p=read();
solve();
return 0;
}
