BZOJ1565: [NOI2009]植物大战僵尸
Description
Plants vs. Zombies（PVZ）是最近十分风靡的一款小游戏。
Plants（植物）和Zombies（僵尸）是游戏的主角，其中Plants防守，而Zombies进攻。
该款游戏包含多种不同的挑战系列，比如Protect Your Brain、Bowling等等。
其中最为经典的，莫过于玩家通过控制Plants来防守Zombies的进攻，或者相反地由玩家通过控制Zombies对Plants发起进攻。
现在，我们将要考虑的问题是游戏中Zombies对Plants的进攻，请注意，本题中规则与实际游戏有所不同。
游戏中有两种角色，Plants和Zombies，每个Plant有一个攻击位置集合，它可以对这些位置进行保护；而Zombie进攻植物的方式是走到植物所在的位置上并将其吃掉。
游戏的地图可以抽象为一个N行M列的矩阵，行从上到下用0到N–1编号，列从左到右用0到M–1编号；在地图的每个位置上都放有一个Plant，为简单起见，我们把位于第r行第c列的植物记为Pr, c。
Plants分很多种，有攻击类、防守类和经济类等等。为了简单的描述每个Plant，定义Score和Attack如下：
Score[Pr, c] Zombie击溃植物Pr, c可获得的能源。若Score[Pr, c]为非负整数，则表示击溃植物Pr, c可获得能源Score[Pr, c]，若为负数表示击溃Pr, c需要付出能源 -Score[Pr, c]。
Attack[Pr, c] 植物Pr, c能够对Zombie进行攻击的位置集合。
Zombies必须从地图的右侧进入，且只能沿着水平方向进行移动。
Zombies攻击植物的唯一方式就是走到该植物所在的位置并将植物吃掉。因此Zombies的进攻总是从地图的右侧开始。
也就是说，对于第r行的进攻，Zombies必须首先攻击Pr, M-1；若需要对Pr, c（0 ≤ c < M-1）攻击，必须将Pr,M-1, Pr, M-2 … Pr, c+1先击溃，并移动到位置(r, c)才可进行攻击。
在本题的设定中，Plants的攻击力是无穷大的，一旦Zombie进入某个Plant的攻击位置，该Zombie会被瞬间消灭，而该Zombie没有时间进行任何攻击操作。
因此，即便Zombie进入了一个Plant所在的位置，但该位置属于其他植物的攻击位置集合，则Zombie会被瞬间消灭而所在位置的植物则安然无恙（在我们的设定中，Plant的攻击位置不包含自身所在位置，否则你就不可能击溃它了）。
Zombies的目标是对Plants的阵地发起进攻并获得最大的能源收入。
每一次，你可以选择一个可进攻的植物进行攻击。
本题的目标为，制定一套Zombies的进攻方案，选择进攻哪些植物以及进攻的顺序，从而获得最大的能源收入。
Input
第一行包含两个整数N, M，分别表示地图的行数和列数。
接下来N×M行描述每个位置上植物的信息。第r×M + c + 1行按照如下格式给出植物Pr, c的信息：
第一个整数为Score[Pr, c], 第二个整数为集合Attack[Pr, c]中的位置个数w，接下来w个位置信息（r’, c’），表示Pr, c可以攻击位置第r’ 行第c’ 列。
1 ≤ N ≤ 20，1 ≤ M ≤ 30，-10000 ≤ Score ≤ 10000 。
Output
仅包含一个整数，表示可以获得的最大能源收入。
注意，你也可以选择不进行任何攻击，这样能源收入为0。
Sample Input
3 2
10 0
20 0
-10 0
-5 1 0 0
100 1 2 1
100 0
10 0
20 0
-10 0
-5 1 0 0
100 1 2 1
100 0
Sample Output
25
//在样例中, 植物P1,1可以攻击位置(0,0), P2, 0可以攻击位置(2,1)。
一个方案为，首先进攻P1,1, P0,1，此时可以攻击P0,0 。
共得到能源收益为(-5)+20+10 = 25。
注意, 位置(2,1)被植物P2,0保护，所以无法攻击第2行中的任何植物。
//在样例中, 植物P1,1可以攻击位置(0,0), P2, 0可以攻击位置(2,1)。
一个方案为，首先进攻P1,1, P0,1，此时可以攻击P0,0 。
共得到能源收益为(-5)+20+10 = 25。
注意, 位置(2,1)被植物P2,0保护，所以无法攻击第2行中的任何植物。
题解Here!
首先，很容易想到把题目转化为图论模型：
把原n*m的网格的每一个格子都抽象成点，每个点有点权，被保护的点向保护它的点连边。
注意：$(i,j)$是要向$(i,j+1)$连边的！
然后我们要从中取一些点，使点权和最大。
我们取点的过程中，要保证子图中没有向外连的边。
这样才能保证，取到这些点的时候，保护它们的点都已经被消灭。
有没有很熟悉？
没错！这就是典型的最大权闭合子图问题。
我们用网络流最小割解决它。
建立$S$和$T$是肯定的。。。
$S$向图中所有点权为非负的点连流量为点权的边。
图中所有点权为负的点向$T$连流量为点权的相反数的边。
对于图中原有的边，在网络流的图中也连相同的的边，流量为$MAX$。
这样跑最小割的过程中，割掉$S$连出的边就表示不取这个点，割掉连向$T$的边就表示取这个点，其他边因为容量为$MAX$，不可能被割掉。
所以最后所有点权为正的点的点权和减去最小割就可以了。
但是注意到一个很坑爹的问题：
原图中可能会有环，有环意味着这些点和他们保护的点都不能取。
这会导致我们原来建立的模型出错。（心里一句MMP。。。）
怎么解决呢？
缩个点嘛。。。
我们先跑一边$Tarjan\text{强连通}$，把所有的强连通分量求出来。
由于题目保证没有自环，我们把所有点数大于$1$的强连通分量缩成一个点，点权为$-MAX$。
这样就可以保证取不到这些点和它们保护的点了。
然后就没有然后了。。。
我的代码里用了$namespace$封装，非常的丑陋。。。
附代码：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#define MAXN 1010
#define MAXM 1000010
#define MAX 999999999
using namespace std;
int n,m,s,t,sum=0,c=1;
int val[MAXN],head[MAXN];
bool map[MAXN][MAXN];
struct Graph{
int next,to;
}edge[MAXM];
inline int read(){
int date=0,w=1;char c=0;
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
return date*w;
}
inline void add_edge(int x,int y){
edge[c].to=y;edge[c].next=head[x];head[x]=c++;
}
namespace Tarjan{
int c=1,d=1,top=1,s=0;
int cstack[MAXN],v[MAXN],head[MAXN],deep[MAXN],low[MAXN],colour[MAXN],num[MAXN];
bool vis[MAXN];
struct Edge{
int next,to;
}a[MAXM];
inline void add(int x,int y){
a[c].to=y;a[c].next=head[x];head[x]=c++;
}
void dfs(int x){
deep[x]=low[x]=d++;
vis[x]=true;
cstack[top++]=x;
for(int i=head[x];i;i=a[i].next){
int v=a[i].to;
if(!deep[v]){
dfs(v);
low[x]=min(low[x],low[v]);
}
else if(vis[v])low[x]=min(low[x],deep[v]);
}
if(low[x]==deep[x]){
s++;
do{
colour[cstack[top-1]]=s;
vis[cstack[top-1]]=false;
}while(cstack[--top]!=x);
}
}
void solve(){
for(int i=1;i<=n*m;i++)if(i%m)if(!map[i][i+1])add(i,i+1);
for(int i=1;i<=n*m;i++)if(!deep[i])dfs(i);
for(int i=1;i<=n*m;i++)num[colour[i]]++;
memset(map,false,sizeof(map));
for(int i=1;i<=n*m;i++){
if(num[colour[i]]>1)val[colour[i]]=-MAX;
else val[colour[i]]=v[i];
for(int j=head[i];j;j=a[j].next){
int v=a[j].to;
if(!map[colour[i]][colour[v]]){
add_edge(colour[i],colour[v]);
map[colour[i]][colour[v]]=true;
}
}
}
}
}
namespace Dinic{
int c=2,head[MAXN],deep[MAXN];
struct Edge{
int next,to,w;
}a[MAXM];
inline void add(int u,int v,int w){
a[c].to=v;a[c].w=w;a[c].next=head[u];head[u]=c++;
a[c].to=u;a[c].w=0;a[c].next=head[v];head[v]=c++;
}
bool bfs(){
int u,v;
queue<int> q;
for(int i=1;i<=t;i++)deep[i]=0;
deep[s]=1;
q.push(s);
while(!q.empty()){
u=q.front();
q.pop();
for(int i=head[u];i;i=a[i].next){
v=a[i].to;
if(a[i].w&&!deep[v]){
deep[v]=deep[u]+1;
if(v==t)return true;
q.push(v);
}
}
}
return false;
}
int dfs(int x,int limit){
if(x==t)return limit;
int v,sum,cost=0;
for(int i=head[x];i;i=a[i].next){
v=a[i].to;
if(a[i].w&&deep[v]==deep[x]+1){
sum=dfs(v,min(a[i].w,limit-cost));
if(sum>0){
a[i].w-=sum;
a[i^1].w+=sum;
cost+=sum;
if(cost==limit)break;
}
else deep[v]=-1;
}
}
return cost;
}
int dinic(){
int ans=0;
while(bfs())ans+=dfs(s,MAX);
return ans;
}
}
void work(){
printf("%d\n",sum-Dinic::dinic());
}
void init(){
int x,u,v,id;
n=read();m=read();
memset(map,false,sizeof(map));
for(int i=1;i<=n*m;i++){
Tarjan::v[i]=read();
x=read();
while(x--){
u=read();v=read();
id=u*m+v+1;
Tarjan::add(id,i);
map[id][i]=true;
}
}
Tarjan::solve();
s=Tarjan::s+1;t=Tarjan::s+2;
for(int i=1;i<s;i++){
if(val[i]>=0){
sum+=val[i];
Dinic::add(s,i,val[i]);
}
else Dinic::add(i,t,-val[i]);
for(int j=head[i];j;j=edge[j].next){
int v=edge[j].to;
Dinic::add(i,v,MAX);
}
}
}
int main(){
init();
work();
return 0;
}
