BZOJ4028: [HEOI2015]公约数数列

BZOJ4028: [HEOI2015]公约数数列

Description

设计一个数据结构. 给定一个正整数数列 a_0, a_1, ..., a_{n - 1}，你需要支持以下两种操作：

1. MODIFY id x: 将 a_{id} 修改为 x.

2. QUERY x: 求最小的整数 p (0 <= p < n)，使得 gcd(a_0, a_1, ..., a_p) * XOR(a_0, a_1, ..., a_p) = x. 其中 XOR(a_0, a_1, ..., a_p) 代表 a_0, a_1, ..., a_p 的异或和，gcd表示最大公约数。

Input

 输入数据的第一行包含一个正整数 n.

接下来一行包含 n 个正整数 a_0, a_1, ..., a_{n - 1}.

之后一行包含一个正整数 q，表示询问的个数。

之后 q 行，每行包含一个询问。格式如题目中所述。

Output

对于每个 QUERY 询问，在单独的一行中输出结果。如果不存在这样的 p，输出 no.

Sample Input

10
1353600 5821200 10752000 1670400 3729600 6844320 12544000 117600 59400 640
10
MODIFY 7 20321280
QUERY 162343680
QUERY 1832232960000
MODIFY 0 92160
QUERY 1234567
QUERY 3989856000
QUERY 833018560
MODIFY 3 8600
MODIFY 5 5306112
QUERY 148900352

Sample Output

6
0
no
2
8
8

HINT

 对于 100% 的数据，n <= 100000，q <= 10000，a_i <= 10^9 (0 <= i < n)，QUERY x 中的 x <= 10^18，MODIFY id x 中的 0 <= id < n，1 <= x <= 10^9.

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题解Here!

 

本来想用线段树维护一下，然后发现我好像需要$3$个$\log_2n$，这是要爆炸的节奏啊。。。

所以我们拿出了分块。

一开始我还在想，$GCD$和$XOR$有什么联系，然后发现，这不需要联系啊。。。

首先，$GCD$有个还算不错的性质：

对于一列数组，从左往右取前缀$gcd$，不同的值最多只有$\log_2n$种。

并且每次值如果改变，那么前缀$gcd$的值至少除以二。

对于每个块，维护下列信息：

块内数据$xor$和，块内$gcd$，块的头尾两个数的前缀$gcd$，块内每个数以块左端点为头的前缀$xor$和。

对于第四类信息，还需要用某种方法，使得支持在$\log_2n$的时间内询问是否存在一个数。

修改的时候，修改位置所在块暴力重构，后面的块更新第三类信息即可。

查询的时候，如果某个块的第三类信息相等，说明这个块内前缀$gcd$都不变，有没有解查表就知道了。

这个表怎么搞呢？

假设暴力扫描，如果前面的块所取到的前缀$gcd$为$lastgcd$，$xor$为$lastxor$。

若$gcd(lastgcd,Gcd[r[i]])==lastgcd$，则说明这个块内所有的数取$gcd$后都是$lastgcd$，那么$xor[j]=(\frac{x}{lastgcd}\quad xor \quad lastxor)$。

然后在另一个排好序的数组中二分查找就可以了。

否则，这个块内暴力访问看一下是否有解，因为不同的$gcd$值不超过$\log_2n$种，所以暴力访问次数并不多。

所以复杂度就是$O(n\sqrt n\log_2n)$。

附代码：

?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstdio> #include<cmath> #define MAXN 100010 using namespace std; int n,m,block; int colour[MAXN],Left[MAXN],Right[MAXN]; long long val[MAXN],gcd_sum[MAXN],xor_sum[MAXN]; struct node{     long long x;     int id;     friend bool operator <(const node &p,const node &q){         if(p.x==q.x)return p.id<q.id;         return p.x<q.x;     } }a[MAXN]; inline long long read(){     long long date=0,w=1;char c=0;     while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}     while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}     return date*w; } long long gcd(long long x,long long y){     if(!y)return x;     return gcd(y,x%y); } int half_find(int l,int r,long long x){     int mid,ans=l;     while(l<=r){         mid=l+r>>1;         if(a[mid].x>=x){ans=mid;r=mid-1;}         else l=mid+1;     }     return ans; } void build(int x){     gcd_sum[Left[x]]=xor_sum[Left[x]]=val[Left[x]];     a[Left[x]]=(node){val[Left[x]],Left[x]};     for(int i=Left[x]+1;i<=Right[x];i++){         gcd_sum[i]=gcd(gcd_sum[i-1],val[i]);         xor_sum[i]=xor_sum[i-1]^val[i];         a[i]=(node){xor_sum[i],i};     }     sort(a+Left[x],a+Right[x]+1); } int solve(long long x){     int ans=-1;     long long Gcd=val[1],Xor=0;     for(int i=1;i<=colour[n]&&ans==-1;i++){         if(gcd(Gcd,gcd_sum[Right[i]])==Gcd){             if(x%Gcd==0){                 long long k=(x/Gcd)^Xor;                 int pos=half_find(Left[i],Right[i],k);                 if(a[pos].x==k){                     ans=a[pos].id;                     break;                 }             }             Gcd=gcd(Gcd,gcd_sum[Right[i]]);Xor^=xor_sum[Right[i]];         }         else{             for(int j=Left[i];j<=Right[i];j++){                 Gcd=gcd(Gcd,val[j]);Xor^=val[j];                 if(Gcd*Xor==x){                     ans=j;                     break;                 }             }             if(ans!=-1)break;         }     }     return ans; } void work(){     char ch[10];     long long x,y;     while(m--){         scanf("%s",ch);x=read();         if(ch[0]=='M'){             x++;y=read();             val[x]=y;             build(colour[x]);         }         else{             int s=solve(x);             if(s==-1)printf("no\n");             else printf("%d\n",s-1);         }     } } void init(){     n=read();     block=(int)sqrt(n);     for(int i=1;i<=n;i++){         colour[i]=(i-1)/block+1;         if(!Left[colour[i]])Left[colour[i]]=i;         Right[colour[i]]=i;         val[i]=read();     }     for(int i=1;i<=colour[n];i++)build(i);     m=read(); } int main(){     init();     work();     return 0; }